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PROBLEMS
20.0520 |
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- 모든 실수 x, y에 대하여 x2+2axy+by2≥0
이 성립하기 위한 실수 a, b의 조건은? ['88]
① a≤b2 ② b2≤a ③ a2≤b ④ b≤a2 ⑤ 4b≤a2 - 부등식 1≤x2+y2≤5 를
만족하는 정수의 쌍 (x,y)의 개수는? [실험평가]
① 11 ② 12 ③ 16 ④ 20 ⑤ 24 - x, y가 0 보다 큰 실수일 때
의
최소값은? [실험평가]
① 16 ② 18 ③ 19 ④ 25 ⑤ 27 - 제곱의 합이 일정한 두 실수 a, b에
대하여 a+2b가 최대일 때 a와 b 사이의 관계는? [실험평가]
① b=2a ② a=2b ③ a=b ④ a2=b ⑤ b2=a - a와 b는 서로 다른 두 정수이고 다항식
f(x)는 다음 두 성질 (A), (B)를 갖는다.
(A) f(x)의 계수는 모두 정수이다.
(B) f(a)f(b)=-(a-b)2
다음 증명은 위의 성질과 사실 (C)를 이용하여
가
정수 임을 보인 것이다.
(C) 정수 m, n에 대하여 이차방정식 x2+mx+n=0 의 근이 유리수이면 이 근은 정수이다.
(증명) 자연수 n에 대하여 an-bn 은 a-b로 나누어 떨어지므로 (A)에 의하여-㉠
f(a)-f(b)는 a-b로 나누어 떨어진다. 따라서
는
정수이다.
와 
를
두 근으로 하는 이차방정식은 근과 계수의 관계와
(B)에 의하여 -㉡
이다.
는 (A)에
의하여-㉢ 유리수이고 는
정수이므로,
(C)에 의하여-㉣는
정수이다.
위의 증명과정에서 밑줄 친 부분 중 (A), (B), (C)를 잘못 이용한 곳은? ['94]
① ㉠ ② ㉡ ③ ㉢ ④ ㉣ ⑤ 없다.
(답) ③
1) x2+2axy+by2=(x2+2axy+a2y2)-a2y2+by2≥0
2) (x+ay)2+(b-a)y2≥0
모든 x, y에 대하여 (x+ay)2+(b-a2)y2≥0
이 되려면
b-a2≥0 ⇔ a2≤b
☞ D≤0 을 이용하는 방법도 있습니다. ^^
(답) ④
1) x2=0일 때, 1≤y2≤5 이므로 y2=1, 4
2) x2=1일 때, 0≤y2≤4 이므로 y2=0, 1,
4
3) x2=4일 때, y2=0, 1
1) 에서 (0,±1), (0,±2) → 4쌍
2) 에서 (1,0), (-1,0), (1,±1), (-1,±1), (1,±2), (-1,±2) → 10쌍
3) 에서 (2,0), (-2,0), (2,±1), (-2,±1) → 6쌍
☞ 그림에서 작은 원은 x2+y2=1, 큰 원은 x2+y2=5
^^
(답) ④
1) 
←
반드시 전개해야 합니다.^^
2) 
←
산술평균≥기하평균 → 관련사항
참조^^
(답) ①
1) (a2+b2)(12+22)≥(a.1+b.2)2
← 등호는 a : b = 1 : 2 일 때 성립 ←
Caucy의 부등식
2) 5(a2+b2)≥(a.1+b.2)2
⇔ (a+2b)2≤5(a2+b2)
3) a2+b2=5k2 이라고 놓으면 (a+2b)2≤(5k)2
⇔ |a+2b|≤|5k|
∴ b=2a 일 때 a+2b의 최대값=|5k|
☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
(답) ⑤
f(x)=c0xn+c1xn-1+c2xn-2+
… +cn-1x1+cn 라고 놓으면 ←
f(x)는 계수가 정수인 n차 다항식.^^
㉠ f(a)-f(b)=c0(an-bn)+c1(an-1-bn-1)+c2(an-2-bn-2)+
… +cn-1(a-b) 이고
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b1+
… a1bn-1+bn-1) 이므로 f(a)-f(b)는
a-b로 나누어 떨어진다.
㉡ αβ=×=1
← f(a)f(b)=-(a-b)2
㉢ f(a), a, b는 정수이므로 는
유리수 ← f(x)의 계수는 정수.
㉣ 의 근은
유리수이고 계수가 정수인 이차방정식
☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
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