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PROBLEMS
20.0519 |
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- 사차방정식 x4+5x3-4x2+5x+1=0
의 두 실근의 합은? ['85]
① -2 ② 4 ③ -6 ④ 8 ⑤ -10 (답) ③
3) (x2+6x+1)(x2-x+1)=0 에서 x2-6x+1=0 또는 x2+x+1=0
x2-6x+1=0 의 두 실근의 합 α+β=-6
☞ 상반(역수)방정식의 풀이법 → 관련사항 참조 ^^
- a와 b가 유리수일 때, 곡선 y=x2-a
와 직선 y=bx 가 만나는 두 점을 P, Q라고 하자. 점 P의 x좌표가
-1+
일 때, 두 점 P,
Q 사이의 거리는? ['90]
① 2 ② 
③ 5 ④ 5 -1⑤ 
(답) ⑤
1) x2-a=bx ⇔ x2-bx-a=0 의 두 근은 α=-1+,
β=-1- ← 켤레 근
정리
2) P(α, bα), Q(β, bβ) 라고 하면
3) |α-β|=2, b=-2 ←
근과 계수의 관계 α+β=b 에서
∴
- 방정식 2x2+4y2+4xy+2x+1=0 을 만족시키는 실수 x, y에 대하여 x+y 의 값을 구하시오. ['90, 주관식]
- 방정식 x2+ax+1=0 의 두 근의
차의 제곱이 1일 때, 곡선 y=x2+ax+1과 곡선 y=-x2+k가
단 한 점에서 만나기 위한 k의 값은? ['91]
① 
② - ③ 
④ - ⑤ 
(답) ③
1) x2+ax+1=0 의 두 근을 α, β라고 하면 α+β=-a, αβ=1
2) (α-β)2=(α+β)2-4αβ 에서 12=(-a)2-4 ⇔ a2=5
3) x2+ax+1=-x2+k ⇔ 2x2+ax+(1-k)=0 ← 두 곡선의 교점의 x좌표를 구하는 방정식
2x2+ax+(1-k)=0 의 D=a2-4.2.(1-k)=0 ← 두 곡선이 접하므로 공유점은 오직 한 개만 존재!
5-8(1-k)=0 에서 k=
- 세 개의 실근을 갖는 삼차방정식 x3+ax2+bx+c=0
의 세 근을 α, β, γ 라 하자. 다음은 세 근의 절대값 중
적어도 하나는
보다
크거나 같음을 증명한 것이다.
결론을 부정하여 
가정하면 |α|<,
|β|<, |γ|<.
근과 계수의 관계에서 a=
이므로
|α|≤|α+β|+|γ|≤ 그런데 이것은 모순이므로, 절대값이
<++=|a|이다.
보다
크거나 같은 근이 적어도 하나 존재한다.
위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 쓴 것은? ['95]
① 어떤 근의 절대값이보다
작다고, -(α+β+γ), |α|+|β|+|γ|
② 어떤 근의 절대값이보다
작거나 같다고, α+β+γ, |α|+|β|+|γ|
③ 어떤 근의 절대값이보다
작다고, α+β+γ, |α|+|β|+|γ|
④ 모든 근의 절대값이보다
작다고, -(α+β+γ), |α|+|β|+|γ|
⑤ 모든 근의 절대값이보다
작거나 같다고, α+β+γ, |α|+|β|+|γ|
(답) 1
1) 2x2+4y2+4xy+2x+1=0 ⇔ (x2+4xy+4y2)+(x2+2x+1)=0
2) (x2+4xy+4y2)+(x2+2x+1)=0
⇔ (x+2y)2+(x+1)2=0
3) (x+2y)2+(x+1)2=0 ⇔ x+2y=0 이고 x+1=0 ←
a, b가 실수일 때, a2+b2=0 이면 a=0, b=0
∴ x=-1, y=2 이므로 x+y=1
☞ 실수 조건이 있는 부정방정식 →
관련사항 참조! ^^
(답) ④
1)「적어도 하나는 …을 만족한다.」의 부정 →「…을
만족하는 것이 존재하지 않는다.」
2) α+β+γ=-a
3) |α+β+γ|≤|α+β|+|γ|≤|α|+|β|+|γ| → 관련사항을
참조하세요! ^^
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