PROBLEMS 20.0518 출제된 문제: 수와 식 (5)

1. x에 관한 삼차방정식 x³-(a+1)x²+4x-a=0의 한 근이 1+i일 때, 실수 a의 값은?['83]
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

(답) ②

1) 다른 한 근은 1-i ← 켤레 근 정리(conjugate root theorem)
2) 1+i, 1-i 를 두 근으로 하는 이차방정식은 x²-2x+2=0 ← (x-α)(x-β)=0 ⇔ x²-(α+β)x+αβ=0
3) x³-(a+1)x²+4x-a=(x²-2x+2)(x+b) 의 좌변, 우변의 일차항의 계수를 비교하면 b=-1

x³-(a+1)x²+4x-a=(x²-2x+2)(x-1) 에서 상수항을 비교하면 a=2

☞ 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용할 수도 있습니다.^^ → 관련사항 참조!




2. a, b가 유리수이고 x 에 관한 방정식 x³+ax-b=0의 한 근이 1+일 때, a+b의 값은? ['86]
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ③

1) 다른 한 근은 1-← 켤레 근 정리(conjugate root theorem)
2) 1+, 1-를 두 근으로 하는 이차방정식은 x²-2x-1=0 ← (x-α)(x-β)=0 ⇔ x²-(α+β)x+αβ=0
3) x³+ax-b=(x²-2x-1)(x+c) 라고 놓고 좌변 우변의 x² 항의 계수를 비교하면 c=2

x³+ax-b=(x²-2x-1)(x+2) 에서 a=-5, b=2




3. x에 관한 이차방정식 x²+2ax+9-2a²=0 이 실근 α, β를 가질 때, α²+β² 의 최소값은? (단, a는 실수) ['84]
   
   

   ① 10

   ② 8

   ③ 6

   ④ 4

   ⑤ 2

(답) ③

1) D/4=a²-(9-2a²)≥0, 3(a²-3)≥0, a²≥3  ← 풀이의 point !
2) α²+β²=(α+β)²-2αβ=(-2a)2-2(9-2a²)=8a²-18

a²≥3 이므로 8a²-18≥24-18=6 → 관련사항 참조!




4. 대학 수학 능력 시험 수리^.탐구 영역(I)의 문항 수는 30개이고 배점은 40점이고, 문항별 배점은 1점, 1.5점, 2점의 세 종류이다. 각 배점 종류별 문항이 적어도 한 문항씩 포함되도록 하려면 1점짜리 문항은 최소 몇 문항이어야 하는가? ['96]
   
   

   ① 8

   ② 9

   ③ 10

   ④ 11

   ⑤ 12

(답) ④

1) 1점, 1,5점, 2점짜리 문항의 개수를 x, y, z 라고 하면
2) x+y+z=30 …㉠, x+1.5y+2z=40 …㉡

2×㉠-㉡ : x+0.5y=20 ⇔ 0.5y=20-x ⇔ y=40-2x 에서 40-2x≥1, 2x≤39 이므로 x=1,2, …, 19
1.5×㉠-㉡ : 0.5x-0.5z=5 ⇔ x-z=10 ⇔ z=x-10 에서 x-10≥1, x≥11 이므로 x=11, 12, …

x=11, 12, 13, 14, …, 19 에서 x의 최소값은 11

☞ y≥1, z≥1 를 이용하여 x의 범위를 구하는 것이 풀이의 point. ^^




5. -1≤x≤1에서 부등식 x+a≤x²≤2x+b가 항상 성립할 때, b-a의 최소값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. ['2000, 주관식]

(답) 3.25

1) y=2x+b가 (-1,1)을 지날 때 b=3 이므로 b≥3
2) y=x+a가 y=x²에 접할 때 a= 이므로 a≤

a≤, b≥3 이므로 b-a의 최소값은 3-()=3.25

☞ y=x+a가 y=x² 에 접하면 x²=x+a의 근이 한 개만 존재하므로 D=0 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©