PROBLEMS 20.0517 출제된 문제: 방정식과 부등식 (4)

1. 방정식 |x²+(a-2)x-2|=1 의 모든 근의 합이 0 일 때, 상수 a의 값은? ['98]
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

(답) ②

1) |x²+(a-2)x-2|=1 ⇔ x²+(a-2)x-2=±1
2) x²+(a-2)x-3=0 의 두 근의 합 x₁+x₂=-(a-2)
    x²+(a-2)x-1=0 의 두 근의 합 x₃+x₄=-(a-2)
3) x₁+x₂+x₃+x₄=-2(a-2)

☞ y=|f(x)|의 그래프 → 관련사항 참조^^




2. 이차방정식 x²-ax+a+2=0 의 두 근이 모두 정수가 되기 위한 모든 상수 a가 속하는 집합은? ['92]
   
   

   ① {x| 7≤x≤15}	② {x| 0≤x≤10}	③ {x| -10≤x≤2}
   ④ {x| 2≤x≤10}	⑤ {x| -4≤x≤8}

(답) ⑤

1) α+β=a, αβ=a+2 (α, β는 정수, α≥β) ← 근과 계수의 관계
2) αβ=α+β+2 ← 위에서 a를 소거
3) αβ=α+β+2 ⇔ (α-1)(β-1)=3 → 관련사항 참조^^

α-1=3, β-1=1 또는 α-1=-1, β-1=-3
∴ α=4, β=2 또는 α=0, β=-2 에서 a=6 또는 -2




3. 이차방정식 (2-k)x²+2kx+1=0 이 서로 다른 부호의 실근을 갖는 실수 k의 범위는? ['89]
   
   

   ① k>1 또는 k<-2	② k<-2	③ k>0
   ④ k>2	⑤ k<1

(답) ④

에서 2-k<0    ∴ k>2
☞ αβ<0 이면 D>0 → 관련사항 참조^^




4. 이차부등식 ax²+bx+c>0 의 해집합이 일 때, 부등식 4cx²-2bx+a>0 을 만족하는 x의 범위는? ['89]
   
   

   ① 5<x<7	② -7<x<-5	③ x<5 또는 x>7
   ④ x<-7 또는 x>-5	⑤ x>-7

   　

(답) ②

1) ax²+bx+c>0 ⇔ (14x-1)(10x-1)<0 ⇔ 140x²-24x+1<0
2) ax²+bx+c>0 ⇔ -140x²+24x-1>0 에서 a=-140, b=24, c=-1 이라고 생각 ^^
3) 4cx²-2bx+a>0 ⇔ -4x²-48x-140>0

x²+12x+35<0 ⇔ (x+7)(x+5)<0 ⇔ -7<x<-5




5. x 에 관한 이차부등식 x²-ax+a²-4≤0 의 해집합이 폐구간 [0,2]를 포함하도록 하는 실수 a의 최대값을 M, 최소값을 m이라 할 때, M-m의 값은? ['83]
   
   

   ① 5

   ② 4

   ③ 3

   ④ 2

   ⑤ 1

(답) ④

1) f(x)=x²-ax+a²-4 라고 하면 f(0)≤0, f(2)≤0
2) f(0)=a²-4=(a+2)(a-2)≤0 에서 -2≤a≤2 …㉠
3) f(2)=-2a+a²=a(a-2)≤0 에서 0≤a≤2 …㉡

㉠, ㉡ 에서 0≤a≤2 이므로 M=2, m=0

☞ 폐구간 [0,2] ⇔ 0≤x≤2

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©