PROBLEMS 20.0516 출제된 문제: 수와 식 (3)

1. x 에 관한 방정식 x²-2kx+(k²-k)=0 이 실근 α, β를 갖고 (α-β)²≤16 이 성립하기 위한 실수 k 의 집합 S는? ['86]
   
   

   ① S={k| -1≤k≤4}	② S={k| -1≤k≤5}	③ S={k| 0≤k≤4}
   ④ S={k| 0≤k≤5}	⑤ S={k| 1≤k≤4}

(답) ③

1) D/4=k²-(k²-k)≥0 에서 k≥0
2) (α-β)²≤16 ⇔ (α+β)2-4αβ≤16 ⇔ 4k²-4(k²-k)≤16 ← α+β=2k, αβ=k²-k

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




2. 이차방정식 x²+ax+b=0 의 두 근이 2, 3 일 때, 이차방정식 ax²+bx+2=0 의 두 근의 합은? ['00]
   
   

   ①

   ②

   ③

   ④

   ⑤

(답) ⑤

1) a=-5, b=6
2) ax²+bx+2=0 의 두 근의 합은




3. x에 관한 이차방정식 x²-ax+b=0 의 두 근이  α, β 이고 x²-(2a+1)x+2=0의 두 근이  α+β, αβ 일 때, a²+b²의 값은? ['83]
   
   

   ① 11

   ② 9

   ③ 7

   ④ 5

   ⑤ 3

(답) ④

1) x²-ax+b=0 의 두 근이  α, β → α+β=a, αβ=b
2) x²-(2a+1)x+2=0 의 두 근이 a, b 이므로 a+b=2a+1, ab=2    ∴ a-b=-1, ab=2

a²+b²=(a-b)²+2ab=(-1)²+2^.2=5




4. 방정식 x²-ax+b=0 의 한 근이 1+2i 일 때, 두 실수 a, b 의 곱 ab 를 구하시오. ['99, 주관식]　

(답) 10

1) x²-ax+b=0 의 다른 한 근은 1-2i → 켤레 근 정리 → 관련사항 참조^^
2) (1+2i)+(1-2i)=a, (1+2i)(1-2i)=b 에서 a=2, b=5





5. 다음은「p가 짝수, q가 홀수이면 방정식 x²+px-2q=0 은 정수 근을 갖지 않는다.」는 것을 증명한 것이다.
   
   

   x가 이면 x2은 이고 px-2q는 짝수이다. 따라서 x2+px-2q가 가 되므로 이 될 수 없다. x가 이면 x2+px는 4의 배수이고 2q는 4의 배수가 아니다. 그런데, 이므로 모순이다. 따라서, 이 방정식은 정수 근을 갖지 않는다.

   
   위의 증명에서 (가) ~ (라) 에 알맞은 것을 차례로 쓴 것은? ['96]
   
   

   ①	홀수,	0,	짝수,	x2+px=2q
   ②	홀수,	이차식,	짝수,	2q는 짝수
   ③	짝수,	0,	홀수,	x2+px=2q
   ④	짝수,	이차식,	홀수,	2q는 짝수
   ⑤	정수,	0,	짝수,	x2+px=2q

(답) ①

… x가 이면 x²+px는 4의 배수이고 2q는 4의 배수가 아니다. … 에서 는 짝수임을 알 수 있었습니다.^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©