PROBLEMS 20.0515 출제된 문제: 수와 식 (2)

1. 이차방정식 x²-x(kx-7)+3=0 이 허근을 갖기 위한 최대의 정수 k는? ['88]
   
   

   ① -8

   ② -4

   ③ -2

   ④ -1

   ⑤ 0

(답) ②

1) (1-k)x²+7x+3=0 (k≠1)  ← x에 대한 이차방정식
2) D=7²-4(1-k)^.3<0 ⇔ 49-12+12k<0 ⇔ 12k+37<0 ← k는 정수

k=-4, -5, -6, …




2. 서로 다른 두 실수  x, y 에 대하여 큰 수를 x∨y, 작은 수를 x∧y 로 나타내기로 하자. 다음 두 조건 을 만족하는 실수 x, y의 합 x+y의 값은? ['실험평가]
   
   

   ① -2

   ② -1

   ③ 0

   ④ 1

   ⑤ 2

(답) ④

1) x>y 일 때, x=2x²+y², y=x+y-1 에서 x=1, y²=-1 ← y는 허수이므로 부적합!
2) y>x 일 때, y=2x²+y², x=x+y-1 에서 y=1, x=0

2)에서 x+y=1




3. 실수 a가 0<a<2 이고, 실수, x, y 가 연립방정식 을 만족시킬 때, 의 값은? ['90]
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

   　

(답) ④

1) 4x-ay=16 …㉠, ax-y=a² …㉡
2) ㉠-㉡×a : (4-a²)x=16-a⁴ ⇔ x=4+a²
3) x=4+a² 을 ㉡에 대입하면, a(4+a²)-y=a³ ⇔ y=4a

x+y=(4+a²)+4a=(a+2)², x-y=(4+a²)-4a=(a-2)²
=(a+2)-(a-2)=4 ← a-2<0




4. a, b, c가 양의 실수일 때, 다음 연립부등식 ax²-bx+c<0, cx²-bx+a<0 의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은? ['94]
   
   

   ① a+c<b	② a+c<2b	③ a+c<
   ④ a+c<1	⑤ a+c<2

(답) ①

포물선 y=ax²-bx+c와 y=cx²-bx+a 의 교점의 좌표를 구하면
ax²-bx+c=cx²-bx+a ⇔ (a-c)x²=a-c

1) a≠c 일 때, x²=1 이므로 교점은 (-1, a+b+c), (1, a-b+c)
2) a=c일 때, 두 포물선은 일치한다.

1)에서 a-b+c<0 이면 연립부등식의 해가 존재 (그림참조)
2)에서 a-b+c<0 ⇔ a+c<b 이면 D>0 ← D=b²-4ac>(a+c)²-4ac=(a-c)²=0

∴ 연립부등식을 만족하는 해가 존재할 조건은 a+c<b




5. 오른쪽 그림에서 □ABCD 의 각 변의 길이는 정수이고 이다. 이 사각형의 둘레의 최대 길이를 구하시오. ['97, 주관식]

(답) 24

AB=x, BC=y 라고 하면
x²+2²=y²+6²=BD² ← 피타고라스의 정리^^

y²-x²=32 ⇔ (y+x)(y-x)=32 에서 x, y가 정수가 되는 경우는
y+x=16, y-x=2 에서 y=9, x=7
y+x=8, y-x=4 에서 y=6, x=2

사각형의 둘레의 최대값은 9+7+6+2=24

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©