PROBLEMS 20.0514 출제된 문제: 방정식과 부등식 (1)

1. 이차방정식 x²-mx+2m+1=0 의 한 근이 1 일 때 다른 한 근은? (단, m은 상수)['98]
   
   

   ① 3

   ② 2

   ③ 0

   ④ -1

   ⑤ -3

(답) ⑤

1) 1²-m^.1+2m+1=0 ← x=1 이 x²-mx+2m+1=0 의 한 근 ^^
2) 2+m=0 에서 m=-2
3) x²+2x-3=0 ⇔ (x+3)(x-1)=0 ⇔ x=-3, 1

☞ 방정식 f(x)=0 의 한 근이 α ⇔ f(α)=0




2. 연립방정식 x+y=2, ax-y=3의 해가 좌표평면의 제 1사분면에 존재하기 위한 a의 범위는? ['88]
   
   

   ① a>-2

   ② a<-1

   ③ a>1

   ④ a<

   ⑤ a>

(답) ⑤

x+y=2 …㉠, ax-y=3 …㉡ 라고 놓으면

㉠+㉡ : (a+1)x=5 에서 x>0 이므로 a+1>0 ⇔ a>-1
a×㉠-㉡ : (a+1)y=2a-3 에서 2a-3>0 ⇔ a>
☞ 좌표평면에 그림을 그려서 해결하는 것도 좋음. → 관련사항을 참조하세요!^^




3. 부등식 x²+|x|-2<0 을 풀면? ['87]
   
   

   ① x<1	② -1<x<0	③ 0<x<1
   ④ x<-1, x>1	⑤ -1<x<1

(답) ⑤

1) x²+|x|-2<0 ⇔ |x|²+|x|-2<0  ← |x|²=x²
2) (|x|+2)(|x|-1)<0 에서 |x|-1<0  ← |x|+2>0

|x|<1 ⇔ -1<x<1




4. 이차부등식 ax²+bx+c>0의 해가 2<x<3 일 때, a, b, c에 대한 부호의 다음 설명 중 옳은 것은? ['92]
   
   ① a>0, b<0 이고 c<0
   ② a>0, b<0 이고 c>0
   ③ a<0, b>0 이고 c<0
   ④ a<0, b>0 이고 c>0
   ⑤ a<0, b<0 이고 c>0

(답) ③

1) 2<x<3 ⇔ (x-2)(x-3)<0
2) x²-5x+6<0 ⇔ ax²+bx+c>0 에서 a<0
3) a(x²-5x+6)>0 ⇔ ax²+bx+c>0

-5a=b, 6a=c 이고 a<0 이므로 b>0, c<0





5. 다음은 명제 'x²+y²+z²=1111' 을 만족하는 에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.
   
   

   <증명> … (생략) … 정수 x, y, z를 각각 8로 나누면 나머지가 각각 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 중 하나이다. 따라서 x2, y2, z2 을 각각 8 로 나누면 나머지가 0, 1, 4 중 하나이다. 그러므로 x2+y2+z2 을 8 로 나누었을 때 나머지는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나이다. 그런데 1111을 8로 나누면 나머지는 7 이다. … (생략) …

   다음 중 위의 에 가장 알맞은 것은? ['97]
   
   ① x, y, z 중 하나는 정수이다.
   ② x, y, z 중 어느 것도 정수가 아니다.
   ③ x, y, z가 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.
   ④ x, y, z가 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.
   ⑤ x, y, z가 모두 정수인 해는 없다.

(답) ⑤

…… x²+y²+z² 을 8 로 나누었을 때 나머지는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나이다.
그런데 1111을 8로 나누면 나머지는 7 이다. ……

☞ x²+y²+z²=1111을 만족하는 정수의 순서쌍 (x,y,z)가 존재하지 않는다. 를 증명하는 과정입니다.^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©