PROBLEMS 20.0513 출제된 문제: 수와 식 (7)

1. 다음은 인공적인 핵분열을 가상적으로 모형화 시킨 것이다.
   
   

   모든 불안정한 핵은 두 개의 핵으로 분열하고, 이 때 생긴 핵은 안정할 수도 있고 불안정할 수도 있다. 불안정한 핵은 다시 두 개의 핵으로 분열하고, 이 과정은 안정한 핵들이 남을 때까지 계속된다. 또한 불안정한 핵이 분열 할 때 마다 100MeV의 에너지가 생성된다.

   어떤 불안정한 원자핵 하나가 위와 같은 핵분열을 거듭한 결과 8개의 안정한 핵들만 남았다면, 이 핵분열 과정에서 생성되는 총 에너지는 몇 MeV인가? ['98]

   ① 800

   ② 700

   ③ 600

   ④ 500

   ⑤ 400

(답) ②


☞ 그림에서 빨간색 점은 불안정한 핵, 검은색 점은 안정한 핵.
☞ 한 개의 불안정한 핵이 8개의 안정한 핵으로 분열하는 방법은 8가지. → 관련사항 보기 참조^^




2. 수질 오염의 정도를 수치로 나타내는 한 방법으로 생물학적 지표가 사용된다. 이 지표는 유색생물의 수가 X, 무색생물의 수가 Y일 때, 로 정의된다. 지난 달 수질검사에서 어떤 호수의 생물학적 지표는 10% 이었다. 이번 달에 이 호수의 수질을 검사한 결과 지난달에 비해 유색생물의 수는 2배, 무색생물의 수는 3배가 되었다. 이번 달 이 호수의 생물학적 지표는 몇 퍼센트(%)인가? ['98]
   
   

   ① 약 14.3%	② 약 15.2%	③ 약 16.4%
   ④ 약 17.1%	⑤ 약 18.5%

   　

(답) ①

1) X=90, Y=10  ← Y=10, X+Y=100
2) X=180, Y=30 일 때의 값을 구하면 됩니다.^^






3. 다음 식의 분모를 0 으로 만들지 않는 모든 실수 x에 대하여
   
   이 성립할 때, a₁+a₂+ … +a₁₀ 의 값은? ['95]
   
   

   ① 0

   ② -1

   ③ 1

   ④ -10

   ⑤ 10

(답) ①

1) 주어진 식의 양변에 (x-1)(x-2)(x-3)…(x-10)을 곱하면 …
2) 1 = a₁(x-2)(x-3)…(x-10)+a₂(x-1)(x-3)…(x-1)+…+a₁₀(x-1)(x-2)…(x-9) ← 항등식 입니다! ^^
3) a₁+a₂+a₃+…+a₁₀ 은 우변의 x⁹ 의 계수

좌변의 x⁹ 의 계수는 0 이므로 a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=0




4. 1을 제외한 실수전체의 집합에서 임의의 두 원소 a, b에 대하여 연산 *을 a*b=a+b-ab로 정의할 때, 연산에 관한 -1의 역원은? ['86]
   
   

   ① 1

   ②

   ③

   ④

   ⑤

(답) ②

1) 연산 * 의 항등원을 e라고 하면 …
2) 1이 아닌 모든 a에 대하여 a*e=a ← a에 대한 항등식 입니다.^^
3) a+e-ae=a ⇔ e(1-a)=0 에서 e=0
4) -1의 역원을 x라고 하면 (-1)*x=0 ← x를 구하는 방정식 입니다.

-1+x-(-1)x=0  ⇔ 2x-1=0

☞ 관련사항 보기를 참조해 주세요! ^^




5. 집합 P는 실수 전체의 집합의 부분집합으로서 다음 성질 (A), (B)를 갖는다.

   (A) 임의의 실수 a에 대하여 a∈P, a=0, -a∈P 중 적어도 하나는 성립하지만,
        두 가지 이상은 동시에 성립하지 않는다.
   (B) a∈P 이고 b∈P 이면 ab∈P 이다.

   다음은 위의 성질을 이용하여「a∈P 이면 ∈P 이다.」를 증명한 것이다.
   

   가정에서 a∈P 이므로 (A)에 의해 a≠0 이다. 따라서 실수 은 0 이 아니므로 에 의하여 ∈P 또는 -∈P 이다. -∈P 인 경우에는 와 가정에 의하여 -1=a×(-)∈P 그런데, -1∈P 라면 (B)에 의하여 1=(-1)×(-1)∈P 가 되어 에 모순이다. 따라서 ∈P 이다.

   위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 쓴 것은? ['94]

   ① (A), (B), (A)	② (A), (B), (B)	③ (A), (A), (B)
   ④ (B), (A), (B)	⑤ (B), (A), (A)

(답) ①

(가) ≠0 이면 ∈P 또는 -∈P ← 성질 (A)
(나) -∈P인 경우, 가정에서 a∈P 이므로  (-)×a∈P ⇔ -1∈P ← 성질 (B)
(다)  -1∈P 이면 성질 (B)에서 (-1)×(-1)∈P ⇔ 1∈P
       따라서 -1∈P 이고 1∈P 이므로 성질 (A)에 모순! ← 1∈P, 1=0, -1∈P 중의 하나 만 성립!

☞ 관련사항 보기를 참조하세요! ^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©