PROBLEMS 20.0511 출제된 문제: 수와 식 (5)

1. 임의의 자연수 n 에 대하여, n의 양의 약수의 총합을 f(n) 이라 하자. 예를 들면, f(3)=4, f(4)=7 이다. 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고르면? ['98]
   
   

   <보기> ㄱ. f(10)=18 ㄴ. f(n)=n+1 이면 n은 소수이다. ㄷ. 임의의 자연수 n에 대하여 f(mn)=f(m)f(n) 이다.

   
   
   

   ① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
   ④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(답) ③

ㄱ. 10의 양의 약수는 1,2,5,10 이므로 f(10)=1+2+5+10=18
ㄴ. 소수 n의 양의 약수는 1, n 이므로 f(n)=1+n

ㄷ.은 거짓 → 반례 : f(4)≠f(2)f(2) → f(4)=1+2+4=7, f(2)=1+2=3




2. 두 이차 다항식의 최대공약수가 x-1, 최소공배수가 x³-2x²-5x+6 일 때, 두 다항식의 합은? ['87]
   
   

   ① 2x2-x-1	② 2x2-3x+1	③ 2x2+2x-4
   ④ 2x2+3x-5	⑤ 2x2-x-5

   　

(답) ②

1) G=x-1, L=x³-2x²-5x+6  ← L=Gab
2) x³-2x²-5x+6=(x-1)(x²-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)
3) 두 다항식은 (x-1)(x-3), (x-1)(x+2)

두 다항식의 합= (x²-4x+3)+(x²+x-2)=2x²-3x+1




3. 임의의 실수 x에 대하여 P(x²+1)={P(x)}²+1, P(0)=0 을 만족하는 2차 이하의 다항식 P(x)의 개수는? ['실험평가]
   
   

   ① 1	② 2	③ 3
   ④ 없다	⑤ 무수히 많다

(답) ①

1) P(1)=1, P(2)=2 ← P(x²+1)={P(x)}²+1 에 x=0, x=1을 대입^^
2) (0,0), (1,1), (2,2)는 일직선 위의 세 점

P(x)=x 한 개만 존재

☞ 포물선 위의 서로 다른 세 점은 일직선 위에 있지 않음!^^





4. x, y가 유리수이고 x²+y²-2x+2y-3-3=0 일 때, x+y의 최대값은? ['88]
   
   

   ① 2

   ② 4

   ③ 6

   ④ 8

   ⑤ 10

(답) ②

1) (x²-2x-3)+(y²+2y-3)=0 ⇔ x²-2x-3=0 이고 y²+2y-3=0 ← 무리수의 상등
2) (x-3)(x+1)=0, (y+3)(y-1)=0

(3,-3), (3,1), (-1,-3), (-1,1) 에서 x+y 의 최대값은 4




5. 반지름의 길이가 각가 6, 8인 두 원 C₁, C₂가 C₁의 점 P₁과 C₂의 점 P₂ 에서 외접하고 있다. 원 C₁ 이 원 C₂ 에 외접하면서 구를 때, 점 P₁과 점 P₂가 다시 만나려면 원 C₁의 중심은 원 C₂의 주위를 최소한 몇 번 돌아야 하는가? ['94]
   
   

   ① 2번

   ② 3번

   ③ 5번

   ④ 6번

   ⑤ 7번

(답) ②

1) 6, 8의 최소공배수는 24
2) C₁둘레의 길이의 4배 = C₂ 둘레의 길이의 3배

☞ C₁이 C₂ 둘레를 3번 돌 때, C₁자신은 4회 회전

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©