PROBLEMS 20.0510 출제된 문제: 수와 식 (4)

1. 삼차식 x³+ax²+b를 x-1 로 나누면 나머지가 2 이고, x+2 로 나누면 나머지가 -1이다. ab의 값은? ['84]
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ②

1) 1³+a×1²+b=2 에서 a+b=1 …㉠ ← f(1)2
2) (-2)³+a×(-2)²+b=-1 에서 4a+b=7…㉡ ← f(-2)-1

㉠, ㉡ 을 연립하면 a=2, b=-1

☞ 나머지 정리 →  f(x)를 x-a로 나눈 나머지= f(a) ^^




2. 삼차 이상의 다항식 f(x)에 대하여 f(1)=1, f(2)=2 이고 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 몫이 Q(x)라 하자. f(x)를 x-3 으로 나누었을 때의 나머지는? ['85]
   
   

   ① Q(3)+3	② Q(3)+4	③ 2Q(3)+3
   ④ 2Q(3)+4	⑤ 3Q(3)+2

(답) ③

1) f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b 라고 놓으면
2) f(1)=a+b=1, f(2)=2a+b=2 에서 a=1, b=0

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+x 에 x=3을 대입하면
f(3)=2^.1^.Q(3)+3=2Q(3)+3




3. 다항식 2x³+x²+3x 를 x²+1로 나눈 나머지는? ['98]
   
   

   ① x-1	② x	③ 1
   ④ x+3	⑤ 3x-1

(답) ①

1) 2x³+x²+3x=(x²+1)Q(x)+ax+b 라고 놓고
2) x=i 를 대입하면 -2i-1+3i=ai+b ← 문자에 어떤 값을 대입해도 좌변=우변 ← 항등식^^

-1+i=b+ai 에서 a=1, b=-1 ← 복소수의 상등 ^^




4. 두 실수 x, y에 대하여 x*y 를 라고 나타내기로 하자. 예를 들면 2*1=2 이다. 서로 다른 네 개의 실수로 이루어진 집합 A={a,b,c,d}의 원소들이 다음 조건을 만족시킨다.
   
   

   (가) A 의 임의의 원소 x 에 대하여 x*a=x 이다. (나) c*d<c*b

   
   다음 중 옳은 것은? ['99]
   
   

   ① b<c<a	② b<d<a	③ d<b<c
   ④ a<b<c	⑤ a<c<b

(답) ⑤

1) x*y는 두 수중 큰 수를 나타냅니다.^^
2) 모든 x에 대하여 x*a=x 이므로 a는 가장 작은 수
3) c*d<c*b 에서 c<d<b 또는 d<c<b 가 되어야 합니다. ← 생각이 필요! ^^

2), 3)에서 가장 작은 수는 a, 가장 큰 수는 b




5. 일 때, 2z²-2z+3의 값은? (단, ) ['90]
   
   

   ① 1	② 2	③ 1+i
   ④ 2+i	⑤ 2i

(답) ②

1) ← (1+i)(1-i)=1-i²=1-(-1)=2 ← i²=-1
2) 2z=1-i ⇔ 2z-1=-i 의 양변을 제곱하면
3) 4z²-4z=-1 에서 2z²-2z=-1

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©