PROBLEMS 20.0509 출제된 문제: 수와 식 (3)

1. 다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 n을 구하시오. ['99, 주관식 3점]
   
   

   (가) n은 60의 약수이다. (나) n은 비가 3 : 7인 두 자연수의 합이다. (다) n의 약수의 개수는 6이다.

(답) 20

1) 비가 3 : 7 인 두 자연수는 3a, 7a로 나타낼 수 있습니다.^^
2) n=3a+7a=10a 이므로 n은 10의 배수입니다.

60의 약수 중에서 10의 배수는 10, 20, 30, 40, 50, 60
이 중에서 약수가 6개인 것은 20=2²×5¹

☞ a,b,c가 소수(prime number)일 때, a^αb^βc^γ의 양의 약수의 개수 → (α+1)(β+1)(γ+1) 개




2. 세 개의 다항식 x³+ax+b, x³+cx²+a와 cx²+bx+4의 공약수의 하나가 x-1일 때, a+b+c의 값은? ['88]
   
   

   ① 3

   ② 2

   ③ 0

   ④ -2

   ⑤ -3

(답) ⑤

1) x³+ax+b=(x-1)Q(x) ← x-1 이 x³+ax+b의 인수(factor)
    위 식에 x=1을 대입하면 1+a+b=0
2) 마찬가지로 c+a=-1, b+c=-4

a+b=-1, c+a=-1, b+c=-4 를 변끼리 더하면 2(a+b+c)=-6, a+b+c=-3




3. 이차방정식 x²+x+1=0 의 한 근을 α라 할 때, α+α²+α³+α⁴+α⁵ 의 값은? ['87]
   
   

   ① -1

   ② 1

   ③ -i

   ④ i

   ⑤ 0

(답) ①

1) α²+α+1=0 ← α 가 x²+x+1=0 의 한 근
2) α+α²+α³+α⁴+α⁵ =(α+α²)+α³(1+α+α²)=-1+0=-1




4. a(a+1)=1일 때, 의 값은? ['91]
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

(답) ④

1) a⁶-1=(a²)³-1=(a²-1)(a⁴+a²+1) ← A³-B³=(A-B)(A²+AB+B²)
2) a⁴-a²=a²(a²-1)
3)
4) a(a+1)=1 ⇔ a²+a=1 ⇔ a+1= ⇔ a-=-1
준식=(a-)²+3=(-1)²+3=4




5. x=, y=일 때, 의 값은? ['92]
   
   

   ①

   ② -

   ③

   ④ -

   ⑤

(답) ①

1)
2) xy==1, x²-y²=(2+)-(2-)=2

∴

　

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©