PROBLEMS 20.0504 출제된 문제: 집합과 명제 (3)

1. 다음 벤 다이어그램에서 어두운 부분을 나타내는 집합은? (단, U는 전체집합, X^c는 X의 여집합을 나타낸다.) ['98]
   
   
   

   ① A∩(B∩C)c	② A∩(B∪C)c	③ A∩(Bc∩C)c
   ④ A∩(Bc∩Cc)c	⑤ A∩(Bc∪Cc)c

(답) ②

1) 어두운 부분은 A-(B∪C)
2) A-(B∪C)=A∩(B∪C)^c ← A-B=A∩B^c




2. 집합 A, B, C 에 대하여, 다음 중 (A∪C)-(B∪C)와 같은 집합은? ['89]
   
   

   ① A-(B∪C)	② A-(B∩C)	③ A-(B-C)
   ④ A∪(B-C)	⑤ A∪(C-B)

   　

(답) ①



☞ (A∪C)-(B∪C)=(A∪C)∩(B∪C)^c=(A∪C)∩(B^c∩C^c)
    ={(A∪C)∩C^c}∩B^c={(A∩C^c)∪(C∩C^c)}∩B^c ← 교환, 분배, A∩A^c=φ
    =(A∩C^c)∩B^c=A∩(B^c∩C^c)=A∩(B∪C)^c=A-(B∪C) ← #?$@?? ^^

☞ 그림을 적극 활용해 주세요! *^^*




3. 실수 전체의 집합의 부분집합 A가 다음 조건을 만족시킨다. x∈A 이면 x∈A 이다. 다음 중 항상 옳은 것은? ['94]
   
   ① ∈A 이면 이면 0A 이다.
   ② A가 유한 집합이면 2A 이다.
   ③ A가 무한집합이면 0 ∈A 이다.
   ④ x∈A 이고 y∈A 이면 x+y∈A 이다.
   ⑤ x∈A 이고 y∈A 이면 xy∈A 이다.　

(답) ②

1) A={, 0, …}  ①은 거짓
2) A={, 0, …}={, 0, /2, /4, …} ③은 거짓
3) A={4,2,1, 1/2, …} 에서 4∈A, 2∈A 이지만 4+2A, 4×2A 이므로 ④, ⑤는 거짓

☞ A가 유한 집합이면 2A ⇔ 2∈A 이면 A는 무한집합 ← 대우!
☞ A={2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, …} ← 무한집합 입니다.^^




4. 세 개의 조건 p, q, r을 참이 되도록 하는 집합을 P, Q, R 이라 하자. 조건 r이 조건 p또는 q이기 위한 필요조건일 때, 다음 중 항상 옳은 것은? ['90]
   
   

   ① (P∪Q)∩R=R	② (P∪Q)∩Rc=φ	③ (Pc∪Qc)∩R=R
   ④ (Pc∪Qc)∩Rc=φ	⑤ (Pc∩Qc)∪Rc=R

(답) ②

1) 조건 r이 조건 p또는 q이기 위한 필요조건 ⇔ (p또는 q) ⇒ r ⇔ (P∪Q)⊂R
2) (P∪Q)⊂R ⇔ (P∪Q)-R=φ ⇔ (P∪Q)∩R^c=φ




5. 집합 U={1,2,3,4, …,100} 이다. 다음 U의 부분집합 A 중 아래조건 (가)와 (나)를 만족시키며 원소의 개수가 가장 적은 것은? ['94]
   
   

   (가) 3∈A (나) m, n∈A 이고 m+n∈U 이면 m+n∈A 이다.

   
   ① A={3,9,15,21, …, 99}
   ② A={3,6,9,12, …, 99}
   ③ A={3,4,5,6, …, 100}
   ④ A={1,3,5,7, …, 100}
   ⑤ A={1,2,3,4, …, 100}

(답) ②

1) 3∈A 이므로 A={3, …}
2) 3, 3∈A 이므로 3+3∈A, 3,6∈A 이므로 3+6∈A, …    ∴ A={3,6,9, …}

☞ 3,99∈A 에서 3+99=102 이지만 102는 U의 원소가 아니므로 102A
☞ A 에 3 이외의 원소가 있는 경우 → {3,6,9,12, …, 99}보다 더 많은 원소를 갖게 됩니다.^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©