PROBLEMS 20.0503 출제된 문제: 집합과 명제 (2)

1. 자연수 n에 대하여 집합 A_n을 A_n = {x| x는 n과 서로소인 자연수 }라고 할 때, <보기>중 옳은 것을 모두 고르면? ['99 계열공통 8번, 3점]
   
   
   <보기>

     ㄱ. A₂ = A₄
     ㄴ. A₃ = A₆
     ㄷ. A₆ = A₃∩A₄
   

   
   

   ① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
   ④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(답) ④

1) A₂={1,2,3,4, …}-{0,2,4, …}={1,3,5,…} ← 인수 2를 갖지 않는 수
2) 4=2² 이므로 2와 서로소인 수는 4와 서로소, 즉 A₂=A₄
3) A₃={1,2,4,5,7,…}, A₆={1,5,7,11,…,25,…}
4) A₃∩A₄ → 3, 2² 와 서로소인 수 → 6과 서로소인 수 → A₆  → 인수 2, 3을 갖지 않는 수




2. 임의의 집합 A, B, C에 대하여 A-(B∪C)와 같은 집합은? ['92]
   
   

   ① (A-B)-C	② A-(B-C)	③ (B-A)-C
   ④ B-(A-C)	⑤ (A-B)∪(A-C)

   　

(답) ①

1) A-(B∪C) ← A에서 B, C의 원소를 제외
2) A-(B∪C)=A∩B^c∩C^c
3) (A-B)-C=(A-C)-B ← A에서 B, C의 원소를 제외




3. 다음 명제 중 옳은 것은? ['85]
   
   ① 임의의 유리수 x에 대하여 를 만족시키는 유리수 y가 존재한다.
   ② 임의의 무리수 x에 대하여 를 만족시키는 무리수 y가 존재한다.
   ③ 임의의 유리수 x에 대하여 xy=1을 만족시키는 유리수 y가 존재한다.
   ④ 임의의 무리수 x에 대하여 xy=1을 만족시키는 무리수 y가 존재한다.
   ⑤ 임의의 무리수 x에 대하여 는 무리수이다.　

(답) ④

④ x가 무리수 이면 x≠0 이므로 1/x가 존재하고 1/x 는 항상 무리수
반례 → ① x=1, ② x=-, ③ x=0, ⑤ x=

☞ 무리수의 역수는 항상 무리수! ^^




4. 실수 값을 가지는 함수 f, g 에 대하여
   A={x| f(x)>0}, B={x|g(x)>0}, C={x|f(x)<0}, D={x|g(x)<0} 라고 할 때,
   조건 f(x)^.g(x)>0 의 진리집합은? ['88]
   
   

   ① (A∪B)∪(C∩D)	② (A∩B)∩(C∩D)	③ (A∪B)∪(C∪D)
   ④ (A∪B)∩(C∪D)	⑤ (A∩B)∪(C∩D)

(답) ⑤

1)  f(x)^.g(x)>0 ⇔ f(x)>0, g(x)>0 또는 f(x)<0, g(x)<0
2)  f(x)>0, g(x)>0의 진리집합 → {x| f(x)>0, g(x)>0}=A∩B
3)  f(x)<0, g(x)<0의 진리집합 → {x| f(x)<0, g(x)<0}=C∩D
4) {x| x∈A∩B 또는 x∈C∩D}=(A∩B)∪(C∩D)

☞  A∪B={x| x∈A 또는 x∈B} ← 합집합의 정의
☞  A∩B={x| x∈A 이고 x∈B}  ← 교집합의 정의




5. 두 조건 p : |x-1|<h, q : |x²-1|<1에 대하여 'p 이면 q이다' 가 참이 되도록 하는 상수 h의 최대값을 구하시오. ['90] 　

(답) -1

1) |x-1|<h ⇔ -h<x-1<h ⇔ 1-h<x<1+h
2) |x²-1|<1 ⇔ -1<x²-1<1 ⇔ 0<x²<2 

1+h≤ ⇔ h≤-1

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Update 2002년 02월 25일 수학선생님^® 수학교육연구^©