PROBLEMS 20.0502 출제된 문제 : 집합과 명제(1)

1. 전체집합이 U = {1, 2, 3,…, 100}이고 A = {x∈U| x는 홀수}, B = {x∈U| x는 3의 배수}일 때, 집합 A^c∩B 의 원소의 개수를 구하시오. [2000 수능, 예 체능계 주관식 26번, 3점]

(답) 16

1) A^c∩B 는 짝수이고 3의 배수, 즉 6의 배수의 집합
2) A^c∩B = {x | x = 6k, k = 1, 2, …, 16}




2. 임의의 집합 A, B, C 에 대하여 다음 중 A-(B-C)와 같은 집합은? ['83]
   
   

   ① (A∪B)-(A∪C)	② (A-B)-(A-C)	③ (A∩B)∪(A-C)
   ④ (A-B)∪(A∩C)	⑤ (A∪B)-(A∩C)

(답) ④

1) A-(B-C)=A-(B∩C^c)=A∩(B∩C^c)^c=A∩(B^c∪C)=(A∩Bc)∪(A∩C)=(A-B)∪(A∩C)
2) Ven diagram을 이용하는 방법도 좋을 듯 합니다. ^^






3. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 (A∪B)∩(A^c∪B^c)=B∩A^c 가 성립하기 위한 필요충분조건은? ['86]
   
   

   ① A=B	② B⊂A	③ A⊂B
   ④ A∩B=φ	⑤ A∩B=A∪B

(답) ③

좌변=(A∪B)∩(A^c∪B^c)=(A∪B)∩(A∩B)^c=(A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A)
우변=B∩A^c=B-A
 
1) (A-B)∪(B-A)=B-A 에서 A-B=φ
2) A-B=φ ⇔ A⊂B





4. 두 집합 P={x| x+|x|=0, x는 실수}, Q={x| 3^x>1, x는 실수}에 대하여, 차집합 P-Q는? ['88]
   
   

   ① P	② Q	③ {0}
   ④ φ	⑤ {양수전체}

(답) ①

1) x≥0 일 때, x+|x|=x+x=0, 2x=0, x=0
2) x<0 일 때, x+|x|=x-x=0, 0^.x=0, x는 모든 실수

1) 2) 에서  P={x| x≤0}

3) 3^x>3⁰,  x>0 에서 Q={x| x>0}

P-Q={x| x≤0}-{x| x>0}={x| x≤0}    ∴ P-Q=P





5. 두 집합 A={1,2,3,4,5,6}, B={2,4,8}에 대하여 (A-B)∩X=X 를 만족하는 집합 X의 개수는? ['92]
   
   

   ① 4

   ② 8

   ③ 16

   ④ 32

   ⑤ 64

   　

(답) ③

1) (A-B)∩X=X ⇔ X⊂A-B ⇔ X⊂{1,3,5,6}
2) {1,3,5,6}의 부분집합의 개수는 2⁴=16개

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©