Today's keywords : 사인법칙과 코사인법칙

1. 사인법칙(the law of sines)

1) ← R 은 △ABC의 외접원의 반지름, a 는 변 BC의 길이
2) a : b : c = sinA : sinB : sinC ← a, b, c는 △ABC의 세 변의 길이.^^

☞ 삼각형의 변의 길이는 대각의 sine 값에 비례한다는 뜻입니다. ^^

의 증명

1) 그림에서 ∠A = ∠A'
2) 직각삼각형 A'BC에서 sinA' = a/A'B
3) A'B = 2R 이므로 sinA' = a/2R

sinA = a/2R ⇔ 2R = a/sinA ⇔ a/sinA = 2R

2. 코사인 제1법칙(the first law of cosines)

a = b^.cosC + c^.cosB → b = c^.cosA + a^.cosC → c = a^.cosB + b^.cosA

☞ 각 A 가 30°, 45°, 60° 와 같은 특수각이 아닐 때 각 A 의 대변 a 의 길이를 구할 때 씁니다. ^^
☞ 직각삼각형, 둔각삼각형일 때의 증명은 생략합니다. ^^  

3. 코사인 제2법칙(the second law of cosines)

a² = b²+c²-2bc^.cosA → A = 90° 이면 피타고라스 정리가 됩니다. ^^
b² = c²+a²-2ca^.cosA
c² = a²+b²-2ab^.cosA

a² = b²+c²-2bc^.cosA 의 증명

a = b^.cosC + c^.cosB …①
b = c^.cosA + a^.cosC …②
c = a^.cosB + b^.cosA …③ 에서 cosB 와 cosC 를 소거합니다. ^^

①×a : a² = ab^.cosC + ca^.cosB …㉠
②×b : b² = bc^.cosA + ab^.cosC …㉡
③×c : c² = ca^.cosB + bc^.cosA …㉢

㉠-(㉡+㉢) 하면 a²-(b²+c²) = -2bc^.cosA 에서 a² = b²+c²-2bc^.cosA

☞ 두 변과 그 사이에 낀 각이 주어지면 각의 대변의 길이를 구할 수 있다는 뜻입니다. ^^
☞ a² = b²+c²-2bc^.cosA ⇔ → 세 변의 길이를 알면 모든 각을 구할 수 있다는 뜻! ^^

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-Michael Garrett Marino-