PROBLEMS 20.0427 삼각함수의 그래프

1. 모든 x에 대하여 f(x+p)=f(x)를 만족하는 함수를 주기 p인 주기함수라고 한다. f(x)=sin3x는 주기 120° 인 주기함수임을 밝히시오.

(증명)

f(x+120°)=sin3(x+120°)=sin(3x+360°)=sin3x=f(x) ← sin(θ+360°)=sinθ

∴ 모든 x에 대하여 f(x+120° )=f(x) 이므로 f(x)는 주기 120° 인 주기함수.

1) sinωx, cosωx 는 주기 2π/ω인 주기함수
2) tanωx 는 주기 π/ω인 주기함수

2)의 증명

f(x)=tanωx 라고 하면 f(x+π/ω)=tan{ω(x+π/ω)}=tan(ωx+π)=tanωx ← tan(θ+π)=tanθ




2. f(x)=cosx일 때, f(0)+f(1)+f(2)+…+f(9)을 구하면?

(답) 1

1) f(x)=cosx 의 주기는 4 ← cosωx의 주기는 2π/ω
2) f(0)=1, f(1)=0, f(2)=-1, f(3)=0
3) f(4)=f(0), f(5)=f(1), f(6)=f(2), f(7)=f(3), f(8)=f(0), f(9)=f(1)

f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)=2{f(0)+f(1)+f(2)+f(3)}+f(0)+f(1)=1





3. tan1, tan2, tan3의 크기를 비교하시오.

(답) tan1 > tan3 > tan2  → 그림참조^^

1) π = 180° → 1=180°/π → 1≒57.3°
2) OP의 각이 θ일 때, tanθ는 OP의 기울기




4. f(x)=-2sin3x+4의 최대값과 최소값을 구하면?

(답)   최대값 6, 최소값 2

1) -2sin3x 의 최대값은 2 이므로 f(x)의 최대값은 2+4=6
2) -2sin3x 의 최소값은 -2 이므로 f(x)의 최소값은 -2+4=2

☞ asin(ωx+α)+b의 최대값 → |a|+b
☞ asin(ωx+α)+b의 최소값 → -|a|+b




5. sinx=1을 만족하는 x를 모두 구하시오.

(답)  x=2nπ+π/2 (n은 정수) → 그림 참조^^

1) sinθ=y/r ← sinθ의 정의
2) sinθ=1 ⇔ y=r ⇔ P(0,r)
3) θ=2nπ+π/2

update 2000년 11월 21일 수학선생님^® 수학교육연구^©