PROBLEMS 20.0423 부채꼴과 호도법

1. 중심각의 크기가 2 rad인 부채꼴의 호의 길이는 반지름의 길이의 몇 배인가? 

(답) 2배

1) 호의 길이는 중심각의 크기에 비례
2) 1 rad → 호의 길이가 반지름의 길이와 같을 때의 중심각
3) 2 rad 호의 길이가 반지름의 길이의 두 배 일 때의 중심각

☞ 참고 →




2. 반지름의 길이가 12cm, 중심각의 크기가 30°인 부채꼴의 넓이는?　

(답)12π

1) 원의 넓이는 12²π=144π
2) 부채꼴의 중심각 30° 는 원의 중심각 360° 의 12 분의 1
S=144×=12π
☞ 부채꼴의 넓이 S를 구하는 공식 → (주의 : θ 는 호도법으로 나타낸 각)




3. 둘레의 길이가 12 인 부채꼴의 넓이의 최대값을 M, 그 때의 부채꼴의 반지름의 길이를 R 이라 할 때, M+R은?

(답) 12

1) 부채꼴의 반지름이 r, 호의 길이를 l이라 하면 2r+l=12
2) 부채꼴의 넓이 S=rl
S=rl=(12-2r)=-r²+6r=-(r-3)²+9 에서 r=3 일 때 넓이의 최대값은 9

☞ 산술평균≥기하평균을 이용하여 문제를 해결 할 수도 있습니다. ^^






4. 부채꼴 A가 있다. 부채꼴 A의 반지름을 2배로 하고 중심각의 크기를 2배로 하여 얻은 부채꼴을 B, 부채꼴 A의 반지름을 2배로 하고 호의 길이를 두 배로 하여 얻은 부채꼴을 C라고 할 때, 부채꼴 B와 C의 넓이의 비는?    　

(답) 2 : 1

부채꼴 A의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 θ, 호의 길이를 l 이라고 하면

1) 부채꼴 A의 넓이 : S_A=r²θ=rl
2) 부채꼴 B의 넓이 : S_B=(2r)²×(2θ)=8×r²θ=8S_A
3) 부채꼴 C의 넓이 : S_C= (2r)×(2l)=4×rl=4S_A

∴ S_B : S_C = 8S_A : 4S_A = 2 : 1





5. 중심각이 90° 인 부채꼴 A에 내접하는 정사각형 B가 있다. A와 B의 넓이의 비는? 　

(답) π : 2

부채꼴에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이를 a라고 하면 부채꼴의 반지름의 길이는 a

1) 부채꼴의 넓이는 π(a)2=2a²π×=πa²
2) 정사각형의 넓이는 a²

∴ A의 넓이 : B의 넓이 = πa² : a²

update 2000년 11월 21일 수학선생님^® 수학교육연구^©