PROBLEMS 20.0422 지수, 로그 부등식

1. 지수부등식 (0.5)^x-1>(0.5)^-x+3 의 해를 구하시오.

(답) x<2

(0.5)^x-1>(0.5)^-x+3 ⇔ x-1<-x+3 ⇔ 2x<4

☞ f(x)=a^x (0<a<1) 은 감소함수 이므로 f(m) > f(n) ⇔ m<n




2. 로그 부등식 log₂(x-1)>log₂(-x+3) 의 해를 구하시오.

(답) 2<x<3

1) 진수조건 x-1>0, -x+3>0 에서 1<x<3 …①
2) log₂x는 증가함수 이므로 log₂(x-1)>log₂(-x+3) ⇔ x-1>-x+3
3) x-1>-x+3 ⇔ 2x>4 ⇔ x>2 …②

①, ② 에서 2<x<3




3. 로그 부등식 log₂x-2log_x2 < 1 의 해를 구하시오.

(답) 0<x<, 1<x<4
log₂x=X 라고 놓으면  log₂x-2log_x2 < 1 ⇔
1) x>1일 때 X>0 이므로
   X²-2<X ⇔ X²-X-2<0 ⇔ (X-2)(X+1)<0 에서 0<X<2 ⇔ 1<x<4

2) 0<x<1일 때, X<0 이므로
   X²-2>X ⇔ X²-X-2>0 ⇔ (X-2)(X+1)>0 에서 X<-1 ⇔ 0<x<




4. log_x-y(x²-y²)>1을 만족하는 점 (x,y)의 존재 범위를 도시하시오.

(답) 오른 쪽 색칠한 부분 (경계선 제외)

1) log_x-y(x²-y²)>1⇔ log_x-y(x²-y²)>log_x-y(x-y)
2) x-y>1 일 때, x²-y²>x-y ⇔ x+y>1⇔ y>-x+1
3) 0<x-y<1일 때, 0<x²-y²<x-y ⇔ 0<x+y<1 ⇔ y>-x 이고 y<-x+1

2) 에서 -x+1<y<x+1 …①
3) 에서 x-1<y<x 이고 -x<y<-x+1 …②

(x,y)가 존재하는 범위는 ①, ② 가 나타내는 영역의 합집합




5. a>0, a≠1일 때, 의 해가 존재하지 않도록 하는 a의 조건을 구하시오.

(답) a=

1) a>1일 때, x²-a²>x-a ⇔ (x-a)(x+a)-(x-a)>0 ⇔ (x-a)(x+a-1)>0 ⇔ x<-a+1 또는 x>a
2) 0<a<1일 때, x²-a²<x-a ⇔ (x-a)(x+a)-(x-a)<0 ⇔ (x-a)(x+a-1)<0

1)에서 (x-a)(x+a-1)>0 를 만족하는 x는 항상 존재
2)에서 a=-a+1 일 때 a=이고 (x-a)(x+a-1)<0 ⇔ (x-)²<0

update 2000년 11월 21일 수학선생님^® 수학교육연구^©