PROBLEMS 20.0420 지수함수와 로그함수

1. y=3^x …①, y=2^x…② 가 있다. ①의 그래프를 x축의 양의 방향으로 a 만큼 평행이동 하였더니 두 그래프가 점 (b,3)에서 만났다. a+b를 구하면?

(답) 2log₂3-1

1) y=3^x을 x→a 만큼 평행이동하면 y=3^x-a
2) y=3^x-a와 y=2^x 의 교점이 (b,3) 이므로 3^b-a=2^b=3
3) 3^b-a=3 에서 b-a=1, 2^b=3에서 b=log₂3

∴ a=log₂3-1, b=log₂3
 




2. f(x)=2^x+1의 역함수 g(x)를 구하고 g(x)의 정의역과 치역을 구하시오.　

(답) g(x)=log₂(x-1), 정의역 {x|x>1}, 치역은 모든 실수

1) f(x)=2^x+1의 정의역은 모든 실수, 치역은 {y| y>1}
2) 2^x+1=y의 역함수 ⇔ 2^y+1=x ⇔ 2^y=x-1 ⇔ y=log₂(x-1)

☞ f : X→Y, y=f(x) 의 역함수 ⇔ f^-1 : Y→X, x=f(y) 




3. f(x)=2^x, g(x)=log₃x 일 때, (fog)(a)=f(log₂3)을 만족하는 a를 구하면?　

(답)

1) , 
2)




4. f(x)=(0.5)^x 일 때, f(-x)>f(x+2)>0.25 을 만족하는 x의 범위는?　

(답) -1<x<0

1) f(x)=(0.5)^x 은 감소함수
2) f(-x)>f(x+2)>f(2) ⇔ -x<x+2<2  에서 -1<x<0




5. y=log₂x와 y=x-1의 교점의 좌표를 구하면?　

(답) (1,0), (2,1) → 그림참조

1) log₂x=x-1 ⇔ 2^x-1=x …①
2) y=log2x, y=x-1의 교점은 두 개 존재하고 그 중의 하나는 (1,0)
3) ①에 x=2를 대입하면 성립하므로 나머지 하나는 (2,1)

☞ 그래프의 도움 없이 2^x-1=x의 해를 구하기는 어렵습니다. ^^   

2000-11-21