Question : A가 2×2 행렬일 때, 모든 자연수 n 에 대하여 An=0 이면 A2=0 임을 증명하시오.
n=1, 2 일 때는 An=0 이면 A2=0 이 성립하는 것이 명백합니다. 따라서 n≥3 인 자연수에 대하여 명제가 성립하는 것을 보이면 됩니다.^^
1) An=O 이므로 A 의 역행렬이 존재하지 않습니다.
2) A=
라고 놓고 Cayley-Hamilton 의 정리를 적용합니다.
3) A2-(a+d)A+(ad-bc)E=O 에서 ad-bc=0 이므로 A2-(a+d)A=O
⇔ A2=(a+d)A 입니다.
A2=(a+d)A …㉠ 의 양변에 A 를 곱하면
A3=(a+b)A2 이 되고 A2=(a+d)A 이므로 A3=(a+d)2A
…㉡ 가 됩니다.
㉡ 의 양변에 다시 A 를 곱하면 A4=(a+d)2A2=(a+d)2(a+d)A=(a+d)3A
이 됩니다.
4) 위에서 얻은 식을 다시 써보면
A2=(a+b)1A
A3=(a+b)2A
A4=(a+b)3A
................... 이므로
An=(a+b)n-1A …㉢ 임을 알 수 있습니다.
5) ㉢ 에 가정 An=O 을 적용하면 (a+b)n-1A=O
이므로 a+b=0 또는 A=O 이 되어야 합니다.
6) a+b=0 또는 A=O 이면 어느 경우에나 ㉠ 의 우변이 영행렬 O 가 되므로 A2=O
입니다.^^
1) 케일리-해밀턴(Cayley-Hamilton) 의 정리
A= 이면 항상 (반드시, 예외 없이) A2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
이 성립합니다.^^
2)
=
이고
=
이므로
AB 의 역행렬이 존재하지 않으면 A 또는 B 의 역행렬이 존재하지 않는 것을 알 수
있습니다.
따라서, An=O 에서 O 의 역행렬이 존재하지 않으므로 A 의 역행렬이
존재하지 않습니다. ^^