원주의 길이와 면적

원주의 길이가 2πr이잖아요? 왜 그런지 증명 좀.... 적분&극한을 사용하여 주셔서 알려주세요...

π 의 값을 구하는 방법은 여러 가지 방법이 있습니다. 그러나, 원에 접하는 정다각형을 이용하는, 그리스 시대의 고전적인 방법에서부터, 근대에 와서 발견된 진보된 방법에 이르기 까지, 그 어느 것도 손쉽게 접근하기 어려운 방법들입니다.

1610 년 Ludolph van Ceulen 이, 변의 개수가 2⁶² 인 정다각형을 이용하여, π 의 근사값을 소수이하 15 자리까지 계산해내는데 거의 일생을 보내었다고 합니다. 무한급수나 삼각함수 등을 이용하는 근대적인 방법도, 학생들이 쉽게 접근 할 수 없는, 고등한 수학적인 지식을 요구하고 있습니다.

그러나, π 가 무엇인지를 묻는 물음이 아니고, '원둘레의 길이가 2πr 이면 원의 넓이는 πr² 이다.' 하는 문제는 적분이나 극한을 써서, 학생들이 쉽게 증명할 수 있는 명제입니다. 질문에 대한 답으로, 대신 이것을 증명하겠습니다.^^

오른쪽 그림은 반지름 r 인 원과 n 개의 점 P₁, P₂, P₃, …, P_n 을 꼭지점으로 하는 원에 내접하는 정 n각형의 변의 일부를 나타낸 그림입니다. 삼각형 OP₁P_n 의 넓이는 (1/2)lh 이므로, 정n 각형의 넓이는 (1/2)lhn 입니다.

n 이 한없이 커지면 , 정 n 각형의 넓이 (1/2)lhn는 원의 넓이 S 에 한없이 가까워 집니다. 이것을 기호로 n→∞ 일 때, (1/2)lhn→S 또는 라고 나타냅니다.

그런데, n→∞ 일 때, 정다각형의 둘레의 길이 ln 이 원둘레의 길이 2πr 에 가까워지고, 동시에 삼각형의 높이 h 는 원의 반지름 r 에 한없이 가까워지므로, 원의 넓이 S 는

와 같이 나타내어 집니다.

따라서, 원주율이 π일 때, 반지름 r 인 원의 넓이가 S = πr² 인 것이 증명되었습니다.