Question : 

강화 여중 1학년 수학시간에 지금 정다각형을 배우고 있는데... 정다각형은 왜 5개 뿐일까? 하고 의문점이 생겼습니다... 음~~ 꼭 가르쳐 주세용 ~~~♡

정다면체의 뜻

1) 모든 면이 합동인 정다각형 이고
2) 각 꼭지점에 모인 면의 개수가 동일한 입체도형

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1) 정다면체의 한 꼭지점에는 면이 3개 이상 모여있습니다.
2) 정다면체를 이루는 면은 정3각형, 정4각형, 정5각형 등의 세 가지 뿐입니다. ^^
3) 정육각형은 한 내각이 120 ° 이므로 정다면체의 면이 될 수 없습니다.


 

공과 연결상태가 같은 입체도형에서 …

꼭지점의 개수가 v
모서리의 개수가 e
면의 개수가 f 일 때

v, e, f 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다. ^^

한 꼭지점에 정 p(p=3,4,5)각형이 q(q=3,4,5)개 모여 f 면체를 이룰 때 …

1) v와 f 사이의 관계 ⇔ qv = pf → v = pf/q …㉠
2) e와 f 사이의 관계 ⇔ 2e = qf → e = qf/2 …㉡

㉠, ㉡ 을 Eulor의 식 ⇔ v-e+f = 2 에 대입합니다.

pf/q - pf/2 + f = 2 ⇔ 2pf-pqf+2qf = 4q ⇔ (2p-pq+2q)f = 4q 에서

f= 4q/(2p-pq+2q) 를 얻습니다. ^^

i) q=3 일 때 → f = 12/(6-p) 에서…

   p=3 이면 f=4 (정4면체)
   p=4 이면 f=6 (정6면체)
   p=5 이면 f=12 (정12면체)

ii) q=4 일 때 → f = 16/(8-2p) 에서…

   p=3 이면 f=8 (정8면체)

iii) q=5 일 때 → f = 20/(10-3p) 에서…

    p=3 이면 f=20 (정20면체)

i), ii), iii) 에서 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 등 다섯 개의 정다면체가 존재함을 알 수 있습니다. ^^

☞ 위 오른쪽 그림은 forum.swarthmore.edu 에서 가져온 그림입니다.^^