Question :  메일로 보내주시면 감사하겠습니다.

1) 톨레미(Ptolemy)의 정리  2) 심슨(Simson)의 정리

1. Ptolemy 의 정리 → 원에 내접하는 4각형의 대변의 길이의 곱의 합은 대각선의 길이의 곱과 같다. 
2. Simson 의 정리 → 3각형의 외접원 위의 임의의 한 점에서 세 변에 내린 수선의 발은 동일직선(Simson line) 위에 존재한다.
   

Ptolemy 의 정리: AB^.CD + AD^.BC = AC^.BD 의 증명

1) AC위에 점 P를 잡아 ∠ABE = ∠DBC가 되게 합니다. (그림1)
2) (그림1) → △ABE ∽ △DBC 이므로 AB/AE = BD/DC ⇔ AB^.DC = BD^.AE …㉠
3) (그림2) → △ABD ∽ △EBC 이므로 AD/DB = EC/BC ⇔ AD^.BC = DB^.EC …㉡
4) ㉠, ㉡ 을 변끼리 더하면 → AB^.DC + AD^.BC = BD(AE+EC) = BD^.AC

∴ AB^.CD + AD^.BC = AC^.BD

Simson 의 정리의 증명

1) △ABC의 외접원 위의 한 점 D에서 세 변에 내린 수선의 발을 P,Q,R 이라 합니다.
    → (그림1)
2) ∠DRA = ∠DQC = ∠DPC = 90° 이므로 네 점 D,R,A,Q 와 P,Q,P,C 는 각각 같은
    원둘레 위에 존재합니다. → (그림2)
3) (그림3) 에서 파랗게 표시한 각의 크기가 같으므로 세 점 P,Q,R 은 동일직선 위에
    존재합니다. → (그림4) 참조 ^^

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1) α₁ = α₂ → 같은 호에 대한 원주각
2) α₁ = α₃ → 내접사각형의 외각과 내대각
3) α₃ = α₄ → 내접사각형의 외각과 내대각

1), 2), 3) 에서 α₁ = α₂ = α₃ = α₄ ^^