Question : … 글구 아래의 문제좀풀어 주세여~ 상세한
설명이랑여~ …
a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an + an+1 (n≥1)
- p.an+2 + q.an+1 + r.an
= 0 (pqr≠0) 은 항상, 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
an+2-α.an+1 = β(an+1-α.an) ⇔ an+2-β.an+1 = α(an+1-β.an) ← α+β=-q/p, αβ=r/q
- an+2-α.an+1 = β(an+1-α.an)
→ 수열 {an+1-α.an}
은 첫째항이 a2-αa1, 공비 β 인
등비수열입니다.
- 첫째항이 A1, 공비가 R 인 등비수열의 제 n 항은 → An = A1Rn-1 입니다.^^
- 문제 a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an + an+1 (n≥1) 에서 …
- an+2-an+1-an = 0 ⇔ an+2-αan+1 = β(an+1-αan) → an+2-(α+β)an+1+αβan = 0 이므로 …
- α+β=1, αβ=-1 → x2-x-1 = 0
의 두 근이 α, β →
,
- an+2-αan+1 = β(an+1-αan) 을 만족하는 수열 {an+1-αan} 은 첫째항이 a2-αa1 = 1-α, 공비가 β 인 등비수열입니다. ← a1 = a2 = 1
- an+1-αan = (1-α)βn ⇔ an+1-αan = βn …㉠ ← 1-α = β
- 마찬가지로 생각하여, an+2-βan+1 = α(an+1-βan) 에서 an+1-βan = αn …㉡ 를 얻을 수 있습니다.
- ㉠-㉡ 하면 …
-(α-β)an = βn-αn ⇔ an = (βn-αn)/(β-α) ⇔ an = (αn-βn)/(α-β) 이므로
일반항은
임을
알 수 있습니다.^^
지금까지의 생각을 정리하면 …
- p.an+2 + q.an+1 + r.an
= 0 (pqr≠0)
⇔ an+2-α.an+1 = β(an+1-α.an)
⇔ an+2-β.an+1 = α(an+1-β.an) ← α+β = -q/p, αβ = r/p - an+2-α.an+1 = β(an+1-α.an) → 수열 {an+1-α.an}은 첫째항이 a2-αa1, 공비가 β 인 등비수열
- 수열 {an+1-α.an} 이 공비가 β 인 등비수열 이면 → 일반항 an = (a2-αa1)βn-1
☞ a1 = a2 = 1, an+2 = an+an+1
로 정의된 수열 {an}을 Fibonacci 의 수열이라고 합니다.
^^
☞ Leonardo Fibonacci (1170?~1250?) : 중세기의 대표적인 수학자(이탈리아),
아라비아 숫자를
유럽에 전한 사람. ^^