Question :
=0 인데도 무한급수 가 수렴하지 않는 이유를 알고 싶어요!

다음 두 개의 무한급수는 양의 무한으로 발산합니다.

1) 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + … = ∞ ← 무한급수의 항 a_n 이 점점 커지고 있습니다.
2) 1 + 1 + 1 + 1 + … + 1 + … = ∞ ← 무한급수의 항이 a_n = 1 로 일정합니다.

이와 같이, 항이 점점 커지거나 항이 일정한 무한급수는 수렴하지 않습니다.
일반적으로, ≠0 이면 무한급수는 수렴하지 않습니다.^^

무한급수 a₁+a₂+a₃+ … + a_n + … 가 수렴하면 = 0 임을 증명하고, 반례를 제시하여, 그 역은 성립하지 않음을 밝히도록 하겠습니다. ^^

☞ S_n = a₁+a₂+a₃+ … + a_n 일 때, 인 경우 무한급수 a₁+a₂+a₃+ … + a_n + …
    는 S 에 수렴한다고 말합니다.
☞

1) a_n = S_n-S_n-1 입니다. ← (a₁+a₂+…+a_n)-(a₁+a₂+…a_n-1) = a_n
2)

∴ 무한급수 a₁+a₂+a₃+ … + a_n + … 가 수렴하면 = 0 입니다. ^^

= 0 이지만 무한급수 a₁+a₂+a₃+ … + a_n + … 가 수렴하지 않는 무한급수의 예로
가 있습니다.

1) 무한급수 의 일반항은 입니다.
2)
3) 무한급수의 n 항까지의 합 S_N 을 구합니다. ← S_N 을 N 째 부분합이라고 합니다.

4) 이므로 무한급수는 발산합니다. ^^

이와 같이, =0 이지만 수렴하지 않는 무한급수가 존재함을 알았습니다.
=0 이지만 수렴하지 않는 무한급수의 예로  이 많은 교과서에 소개되어 있습니다.^^

지금까지 생각한 것을 정리하면 다음과 같습니다.

1) 가 수렴하면 =0 ⇔ ≠0 이면 는 수렴하지 않는다. (대우)
2) =0 이지만 수렴하지 않는 무한급수가 존재한다.

☞ =0 은 이 수렴하기 위한 필요조건 이지만 충분조건은 아닙니다. ^^