Question

Question :

중간고사에서 미분불가능인 것에 대한 문제가 나왔는데 틀리고 말았어요. 꺾인 점에서는 미분 불가능이라고 해서 답을 그렇게 썼는데 틀렸어요. 연속이라는 개념과 많이 헷갈려서 그런 것 같아요. 이런 문제에 대한 약점을 고치고 싶어요.

함수의 연속성과 미분가능가능성을 묻는 문제는 매우 자주 출제 됩니다. 그림을 몇 개 그려 x=a 에서 f(x) 가 연속일 조건을 알아본 다음 미분가능일 조건을 공부하도록 하겠습니다.^^

f(x) 가 x=a 에서 연속 ⇔ f(x) = f(a)

1) f(x) 가 존재하지 않는 함수 → (그림1)
2) f(x) 가 존재하지만 f(a) 가 존재하지 않는 함수 → (그림2)
3) f(x) 및 f(a) 가 존재하지만 x=a 에서 연속이 아닌 함수 → (그림3)
4) x=a 에서 연속인 함수 → (그림4)

따라서, f(x)가 x=a 에서 연속이 되려면 다음의 세 조건이 만족되어야 합니다.
i) f(x)가 존재 ii) f(a)가 존재 iii) f(x) = f(a)

f(x) 가 x=a 에서 미분가능 ⇔ f'(a) 가 존재 ⇔ 가 존재

1) f'(a) 가 존재할 때, f(x)는 x=a 에서 미분가능이라고 합니다.
2) f'(a) 는 x→a 일 때, 의 극한값입니다.
3) 따라서 x=a 에서 미분가능 하려면 x→a 일 때, 의 극한값이 존재해야 합니다.
☞ 극한값이 존재 ⇔ 우극한값 = 좌극한값

예를 들어, 함수 f(x)=1 (x<0), f(x)=x²+1 (x≥0) 의 x=0 에서의 미분가능성을 조사해 보겠습니다.

1) = = x = 0 ← 우극한값(우측미분계수)
2) = = 0 ← 좌극한값(좌측미분계수)
3) = 이므로 f'(0) = 이 존재합니다.
4) f'(0) 이 존재하므로 f(x) 는 x=0 에서 미분가능입니다.

☞ 우측미분계수 right-hand differential coefficient
☞ 좌측미분계수 left-hand differential coefficient

f'(a) = 가 존재하면 x→a 일 때, f(x)-f(a) → 0 이 됩니다.
x→a 일 때, f(x)-f(a) → 0 ⇔ x→a 일 때, f(x) → f(a) ⇔ f(x) = f(a) 이므로
f(x) 가 x=a 에서 미분가능이면 x=a 에서 연속입니다. ^^ ← 역은 성립하지 않음!