Question :

일반적인 다각형의 무게중심 어떻게 찾죠? 삼각형에서 찾는 것처럼 하면 안되던데... 부탁합니다.^^

  1. (그림1-1) 에서 M 은 선분 AB 의 중점입니다. M 은 질량이 같은 두 점 A, B 로 이루어진 물체의 무게중심이기도 합니다.
    여기서 M 의 x 좌표는 x = (x1+x2)/2 입니다.

    ☞ A, B 의 x 좌표를 각각 x1, x2 로 생각합니다. ^^

  2. 그러나, (그림1-2) 에서는 두 물체의 질량이 다르므로 무게중심은 무거운 쪽으로 이동합니다. 이 때, 무게중심의 위치는 관계식 ml = ML 로부터 구할 수 있습니다. 여기서 ml 과 ML 을 모멘트(moment) 라고 합니다.
    모멘트    는 물체의 회전과 관련된 물리량입니다. ^^
  3. (그림2-1) 은 질량이 같은 네 개의 점 A, B, C, D 만으로 이루어진 물체입니다. 이 물체를 사다리꼴ABCD 라고 말할 수 없습니다. 사다리꼴은 4 개의 선분으로 이루어진 도형입니다.

    이 물체의 무게중심 G 의 x 좌표는 x = (x1+x2+x3+x4)/4 입니다. 그림에서 M 은 AD 의 중점, N 은 BC 의 중점 G 는 MN 의 중점입니다.
    질량이 같은 점으로 이루어진 물체의 무게중심의 좌표는 각 점의 좌표의 평균값입니다.

  4. (그림2-2) 는 속이 채워진 사다리꼴 ABCD 입니다. 그림의 사다리꼴에서, 아래부분이 윗부분 보다 무거우므로, 무게중심은 G 보다 아래로 이동한 어떤 점 G' 가 되어야 합니다.

    여기서, 모멘트의 합을 이용하면 G' 의 위치를 구할 수 있습니다.



  5. AD=4, BC=8, 높이가 9 인 등변사다리꼴 ABCD 의 무게중심의 위치를 구해보기로 하겠습니다.

    1) 삼각형 ABB'와 DCC'의 넓이 → 9(m)
        직사각형 AB'C'D 의 넓이 → 18(2m)
    2) 삼각형 ABB', DCC' 의 무게중심의 좌표 → 8
        직사각형 AB'CD 의 무게중심의 좌표 → 6
        사다리꼴 ABCD 의 무게중심의 좌표 → x
    3) m.8 + m.8 + 2m.6 = (m+m+2m).x ← 모멘트의 합
        28m = 4x 에서 → x= 7 ^^ (AD 에서 7 만큼 떨어진 곳)
x 축 위에 질량 m1, m2, m3 인 세 점이 좌표 x1, x2, x3 인 위치에 있을 때, 이 세 점으로 된 물체의 무게중심의 좌표 x 는 (m1+m2+m3)x = m1x1+m2x2+m3x3 를 만족합니다. 이 때, 특별히 m1= m2 = m3 이면 x = (x1+x2+x3)/3 이 되는데, 이것은 삼각형의 무게중심의 x 좌표를 구한 결과와 같습니다. ^^

　

update 2000년 09월 26일 수학선생님® 수학교육연구©