Question :

복소수 z1=1+i, z2=-2+3i 와 z 에 대하여 (z1-z)/(z2-z) 가 실수일 때, z 의 절대값의 범위를 구하시오.

  1. (z1-z)/(z2-z) 가 실수이면 z1, z2, z 는 동일 직선 위에 존재합니다. → 아래 설명 참조.^^
  2. z1, z2 를 잇는 직선의 방정식은 2x+3y-5=0 입니다.
  3. z 는 직선 2x+3y-5=0 위에 있고 |z| 는 원점과 z 사이의 거리입니다.
  4. 오른쪽 그림에서 원점과 직선 2x+3y-5=0 위의 복소수 z 사이의 거리의 최소값은 d = 이므로
    |z|≥ 입니다.^^
  1. 복소평면 위의 점 P(z1), Q(z2) 에 대하여 ∠POQ = |arg(z1)-arg(z2)| 입니다. → (그림1)
  2. 세 복소수 z1, z2, z 가 이루는 각 θ
     z 가 각 θ 의 중심인 경우 → θ = |arg(z-z)-arg(z-z)| = → (그림2)

    　
    (그림1)
    (그림2)

  3. (z1-z)/(z2-z) 가 실수 →  z1, z2, z 는 동일 직선 위에 존재. → (그림3)

    (z1-z)/(z2-z) 가 실수 ⇔ 편각이 0°, 180° ⇔ |arg(z1-z)/(z2-z)|=0°, 180°
    즉, |arg(z1-z)-arg(z2-z)|=0°, 180° 이므로 복소수 z1, z2, z 는 동일 직선 위에 존재합니다.
  4. (z1-z)/(z2-z) 가 순허수 →  z1, z2, z 는 90° 의 각 (각의 중심은 z)을 이룹니다. → (그림4)

    (z1-z)/(z2-z) 가 순허수 ⇔ 편각이 90°, -90° ⇔ |arg(z1-z)/(z2-z)|=90°
    따라서, (z1-z)/(z2-z) 가 순허수 이면 ∠Z1ZZ2 = 90° 입니다.
　
(그림3)
(그림4)


update 2000년 09월 15일 수학선생님® 수학교육연구©