케일리-해밀턴의 정리

Question1: 케일리-해밀턴 정리는 2차의 정사각행렬에서만 적용되는 것인가요?

AX=kX 를 만족하는 영행렬이 아닌 열벡터 X 가 존재할 때, X 를 A 의 고유벡터(eigenvector)라 하고 이때의 k 를 A 의 고유값(eigenvalue) 이라고 합니다.
A=일 때는 AX=kX ⇔ =k가 됩니다.
=k ⇔ -k=0 ⇔ =0
⇔ =0 에서 …
의 역행렬이 존재하지 않아야 영행렬이 아닌 X 가 존재합니다.^^
D=0 ⇔ (a-k)(d-k)-bc=0 에서 이차방정식 k²-(a+d)k+(ad-bc)=0 이 나오는데 이것을 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 합니다.
이차 정사각행렬 A 의 특성방정식이 k²-(a+d)k+(ad-bc)=0 이면 반드시 A²-(a+d)A+(ad-bc)E=O 이 성립하는데 이것이 케일리-해밀턴의 정리입니다.
일반적으로 n차의 정사각행렬 A의 특성방정식이 f(k)=0 일 때 반드시 f(A)=O 이 성립하는데 이것을 케일리-해밀턴의 정리라고 합니다.

케일리-해밀턴의 정리는 n차의 정사각행렬 A 에 대하여 항상 성립합니다.^^

Cayley 는 2×2, 3×3 행렬에 대하여 이 정리를 증명하였고, 일반적인 n차의 정사각행렬에 대하여 정리를 증명한 사람은 Frobenius 입니다.^^ Hamilton은 Cayley의 절친한 친구이며 자신이 연구한 행렬이론을 Cayley 에게 소개한, 시를 좋아하는 수학자였습니다. Frobenius 는 위의 두 수학자의 연구내용을 전혀 모르고 있었다고 하며, 완전히 독자적으로 행렬이론을 생각한 수학자입니다. ^^

Cayley, Hamilton, Frobenius 의 생애와 업적을 자세히 보시려면 왼쪽의 수학자 찾아보기를 참조하세요!^^

Question 2 :

A 가 kE 꼴이 아닐 경우(A 는 단위행렬의 실수배가 아닐 경우)만 거꾸로 케일리 정리에서 A= ( a b )로 생각이 가능하다고 참고서에는 적혀있는데 그 이유가 잘 이해 되지않아요.

먼저 이차의 행렬방정식 A²+px+qE=O …㉠ 을 만족하는 행렬 A 를 구해보기로 하겠습니다.
A=라고 놓으면 Cayley 의 정리에 의해서 A²-(a+d)A+(ad-bc)E=O …㉡ 이 성립합니다. ㉠-㉡ 하여 A² 항을 소거하면 (a+d+p)A+(q-ad+bc)E=O ⇔ (a+d+p)A=(ad-bc-q)E 가 됩니다.
여기서 a+d+p=0 이면 (ad-bc-q)E=O 이므로 ad-bc-q=0, 즉 p=-(a+d), q=ad-bc 이 됩니다. 결론적으로 A²-(a+d)A+(ad-bc)E=O 을 만족하는 행렬은 A=이고 A는 무수히 존재합니다. 예를 들어, a+d=0, ad-bc=-1 이면 A²+E=O 이고 a+d=0, ad-bc=-1 를 만족하는 순서쌍 (a,b,c,d) 는 무수히 많이 있습니다.
(a+d+p)A=(ad-bc-q)E 에서 a+d+p≠0 이면 A=E ⇔ A=kE 가 됩니다. A²+pA+qE=O 에 대입하면 (k²+pk+q)E=O ⇔ k²+pk+q=0 이고 p²-4q≥0 이면 실수 k 가 존재합니다.

A²+pA+qE=O 를 만족하는 이차의 정사각행렬 A 는 무수히 많이 존재하고 이들 중에는 A≠kE 꼴도 있고 A=kE 꼴도 있을 수 있습니다.

☞ A=가 만족하는 2차의 행렬방정식은 몇 개인가?

A≠kE 이면 오직 한 개만 존재하고 그것은 케일리-해밀턴의 정리로 구한 것과 같습니다.
A=kE 이면 무수히 많이 존재하고 그 꼴은 (A-kE)(A-αE)=O 입니다.

예1) A=일 때는 A²-5A-2E=O 한 개만 존재합니다.
예2) A=2E 일 때는 (A-2E)(A-E)=O, (A-2E)²=O, (A-2E)(A-3E)=O, … ^^