목걸이 순열의 수

왼손 오른손과 같이 서로 짝이 되는 원순열을 뒤집어 보면 같은 모양이 되므로 비대칭 원순열과 목걸이 순열은 2 :1 로 대응한다. (오른쪽 그림)

대칭 원순열은 뒤집어 놓아도 같으므로 대칭원순열과 목걸이 순열은 1 : 1 로 대응한다. (아래 그림)

☞ 뒤집어 보아 겹칠 수 있는 목걸이는 동일한 목걸이 입니다. ^^
☞ 목걸이 순열의 수 = (대칭 원순열의 수)+(비대칭 원순열의 수)×(1/2)

Problem14-7 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 다섯 개의 문자 a, a, b, b, c 를 써서 만든 다음 각 순열의 수를 구하시오.

    (1) 직순열의 수
    (2) 원순열의 수
    (3) 대칭 원순열의 수
    (4) 목걸이 순열의 수　
    2. (답) (1) 30 개   (2) 6 개   (3) 2 개   (4) 4 개
    (1) 5!/2!2! = 120/4 = 30 (개)
    (2) 30×(1/5) = 6 (개)
    (3) 2 개 (그림 참조)
    (4) 2+4×(1/2) = 4 개
    ☞ a, a, b, b, c 로 만든 서로 다른 4 개의 목걸이

  2. 흰 구슬 두 개와 검정 구슬 세 개로 만든 목걸이 순열의 수를 구하시오.　
    3. (답) 2 개
    1) 직순열의 수 : 5!/2!3! = 120/12 = 10 (개)
    2) 원순열의 수 : 10×(1/5) = 2 (개)
    3) 목걸이 순열의 수 : 2+0×(1/2) = 2 (개) ^^
    ☞ 목걸이 순열의 수 = (대칭 원순열의 수)+(비대칭 원순열의 수)×(1/2)
  3. 정육면체의 각 면에 1, 1, 2, 3, 4, 5 여섯 개의 수를 기입하는 방법의 수를 구하시오.　
    4. (답) 15 가지
    1) 1, 1을 마주보는 면에 기입(뒤집어 보아도 같으므로 목걸이 순열)

    4!×(1/4)×(1/2) = 3 (가지)

    2) 1, 1을 이웃하는 면에 기입

    2를 기입하는 방법이 2가지 이므로 2×3! = 12 (가지)    ∴ 3+12 = 15 (가지) ^^

    그림에서 두 번째와 세 번째 그림은 돌려서 겹칠 수 있으므로 같은 경우이다. 따라서 1, 1을 이웃하게 기입했을 때 2를 기입하는 방법은 2가지 이다.^^ 


  4. 뒤집어 볼 수 있는 고리가 있다. 색이 모두 다른 다섯 개의 구슬을 그림과 같은 위치에 배치하여 만들 수 있는 고리의 개수를 구하시오.
    5. (답) 60 개
    1) 빨간색 부분에 구슬을 한 개 배치하는 방법 : 5 가지
    2) 나머지 네 개의 구슬을 배치하는 방법 : 4!×(1/2) = 12 (가지)
    그림의 두 개의 고리는 뒤집어 겹칠 수 있으므로 같은 고리입니다. ^^ 

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2004-07-05