원순열의 수

n개로 만든 직순열이 순환하지 않는 경우, 원순열의 수는 직순열의 수의 이 된다. 직순열에 순환하는 것이 있는 경우 순환마디의 원소가 m개 이면 원순열의 수는 (비순환 직순열의 수)×+(순환직순열의 수)×이 된다. (1) 직순열 : ← 네 개의 자리가 모두 다르다. (2) 원순열 :   ← 네 개의 자리가 모두 같다. ☞ 돌려보아 겹칠 수 있는 원순열은 동일한 원순열 입니다.

Problem14-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 1, 1, 2, 2, 2, 3 으로 만든 원순열의 수를 구하시오.　
(답) 10

직순열의 수가 = 60 이고 순환하는 것이 없으므로 원순열의 수는 60× = 10 ^^

순환하는 것이 있는 경우의 원순열

1, 1, 2, 2 로 만든 직순열은 4!/(2!2!) = 6 개 있습니다. 이 중에서 순환하는 것이 두 개(1212, 2121) 있으므로 1, 1, 2, 2로 만든 원순열의 수는 4×(1/4)+2×(1/2) = 2 ^^

2. 할아버지와 할머니를 모시고 사는 영이네 식구는 모두 일곱 명이다. 어느날 원형 식탁에 둘러 앉아 식사를 하는데 할아버지와 할머니는 나란히 앉고 영이는 할머니 옆에 앉기로 한다면 식탁에 둘러 앉는 방법은 몇 가지 있는가?
(답) 48 가지
1×2×1×4! = 48 (가지)
1) 할아버지와 할머니가 이웃하게 앉는 방법은 2가지
2) 영이가 할머니 옆에 앉는 방법은 1가지
3) 할아버지, 할머니, 영이가 앉는 방법은 1×2×1 = 2 (가지)
3. 1,2,3,4,5,6 여섯 개의 수 중에서 다섯 개의 수를 골라 그림과 같은 정사각뿔의 다섯 개의 면에 써 넣으려고 한다. 밑면에는 홀수를 쓰기로 한다면 그 방법은 몇 가지 있는가?
(답)  90 가지
밑면에 1을 기입하는 경우
2, 3, 4, 5, 6 중에서 4 개를 골라 옆면에 기입하는 방법은 5×4!×(1/4) = 30 (가지)
밑면에 3, 5를 기입하는 방법이 각각 30 가지 있으므로 30+30+30 = 90 (가지)^^ 
1) 서로 다른 n개로 만든 직순열의 수 → n!
2) 서로 다른 n개로 만든 원순열의 수 → n!×(1/n) = (n-1)!
4. 정육면체의 각 면에 1,2,3,4,5,6 여섯 개의 수를 써 넣으려고 한다. 짝수와 홀수를 서로 마주보는 면에 써 넣기로 한다면 그 방법은 몇 가지 있는가?
(답) 12 가지
1, 3, 5 와 2, 4, 6을 짝지어 주는 방법은 3! = 6 (가지)
짝지어진 세 쌍의 수를 정육면체에 배치하는 방법은 2가지
따라서 짝수 홀수를 짝지어 정육면체에 써넣는 방법은 6×2 = 12 (가지) ^^
예를 들어 세 쌍의 수 {1,2}, {3,4}, {5,6} 를 정육면체에 써넣는 방법은 2가지

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