같은 것을 포함한 직순열

같은 문자가 p개, q개, r개 적힌 카드가 합하여 n장이 있을 때, 이 n장의 카드를 일렬로 늘어 놓아 만든 순열의 수는 이다.
순서가 정해진 문자는 같은 문자로 취급합니다. 예를 들어 a, b, c, d, e 다섯 개의 문자를 일렬로 늘어놓을 때, 모음의 순서가 a, e 순으로 된 순열은 개 존재합니다.^^

Problem14-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 1, 1, 2, 2, 2, 3 인 인쇄된 여섯장의 카드 중에서 다섯장의 카드를 뽑아 일렬로 늘어 놓는 방법의 수를 구하시오.
    2. (답) 60
    1) 1, 1, 2, 2, 2 를 늘어놓아 만든 순열 → =10 (개)
    2) 1, 1, 2, 2, 3 을 늘어놓아 만든 순열 → =30 (개)
    3) 1, 2, 2, 2, 3 을 늘어놓아 만든 순열  → =20 (개)    ∴ 10+30+20 = 60 (개) 
    1,1,2,2,2 를 늘어 놓아 만든 순열을 크기 순으로 늘어놓으면

    → 11222, 12122, 12212, 12221, 21122, 21212, 21221, 22112, 22121, 22211

  2. 1, 1, 2, 2, 3, 3 이 인쇄된 여섯장의 카드를 일렬로 늘어 놓아 직순열을 만들 때 다음 물음에 답하시오.

    (1) 순열은 모두 몇 개 만들어지는가?
    (2) abcabc와 같이 순환 하는 꼴의 순열은 몇 개 있는가?

    3. (답) (1) 90  (2) 6  
    (1) =90 (개)
    (2) 1, 2, 3 을 늘어 놓는 방법이 3! = 6가지 이므로, abcabc 꼴의 순열은 6개 존재 

    abcabc 꼴의 순열 → 123123, 132132, 213213, 231231, 312312, 321321

  3. 그림과 같은 도로가 있다. A에서 B까지 최단거리로 가는 방법은 몇 가지 있는가?　
    4. (답) 40
    1) A→1→B :
    2) A→2→B :
    1), 2) 에서 30+10 = 40 ^^
    오른쪽 그림에서, 오른쪽으로 한 칸 가는 것을 문자 a로 위로 한 칸 가는 것을 문자 b로 나타내기로 하면, 빨간색 경로는 순열 abaab 에 대응하고 파란색 경로는 순열 babaa 에 대응합니다.


  4. 그림과 같은 도로가 있다. A에서 B까지 최단거리로 갈 때, 두 지점 P, Q 중에서 꼭 한 개의 지점만을 통과 하는 방법의 수를 구하시오.　
    5. (답) 62
    1) A→P→B :
    2) A→Q→B :
    3) A→P→Q→B :
    오른쪽 그림 에서 (40-24)+(70-24) = 16+46 = 62 (가지) 
    A→P→B 가 40가지 이고 A→P→Q→B 가 24가지 이므로, A에서 P는 지나지만 Q는 지나지 않고 B로 가는 방법은 40-24 = 16가지 입니다.^^

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2004-07-02