직순열의 수 : n Pr

서로 다른 n개 중에서 서로 다른 r개를 뽑아 일렬로 늘어놓아 만든 순열의 수를 기호 nPr로 나타내기로 한다. nPr 은 다음과 같이 계산한다.

(1) nPr = n(n-1)(n-2)(n-3)∙∙∙(n-r+1)
(2) nPn = n(n-1)(n-2)(n-3)∙∙∙3∙2∙1 = n!
(3)  ← 연속한 정수의  곱은 항상 계승(factorial)의 몫으로 표시가능 합니다.^^

☞ (3)에서 ⇔ nPn = n! ← 0! = 1

Problem1-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. A, A, B, C, D, E 가 적힌 여섯 장의 카드 중에서 세 장을 뽑아 일렬로 늘어 놓는 방법의 수를 구하시오.
    2. (답) 72 
    1) 세 장의 카드가 모두 다른 경우

    A, B, C, D, E 에서 서로 다른 세 장의 카드를 택하는 경우  → 5P3 = 5×4×3 = 60

    2) A가 두 장 있는 경우

    AAB, AAC, AAD, AAE 를 늘어 놓는 경우 → 4×3 = 12     ∴ 60+12 = 72 (가지) ^^

    A가 없거나 한 장만 들어 있는 경우와 A가 두 장 들어 있는 경우로, 나누어 생각하는 것이 중요합니다. ^^
  2. n-1Pr + r×n-1Pr-1 = nPr 을 증명하시오. (단, n과 r은 자연수이고 n>r≥2) 　
    3. (증명) 

    ∴ n-1Pr + r×n-1Pr-1 = nPr  증명 끝.

    ☞ n!×(n+1) = (n+1)!  (예) 4!×5 = (4×3×2×1)×5 = 5×4×3×2×1 = 5!
  3. 여섯 개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5 중에서 서로 다른 숫자를 택하여 만든 세 자리의 자연수 중에서 4의 배수의 개수를 구하시오.
    4. (답) 24
    자연수가 4의 배수가 되려면 끝의 두 자리 수가 4의 배수가 되어야 합니다.
    끝의 두자리 수가 4의 배수가 되는 경우 → 04, 12, 20, 24, 32, 40, 52

    1) □04, □20, □40 꼴의 4의 배수 → 4×3 = 12
    2) □12, □24, □32, □52 꼴의 4의 배수 → 3×4 = 12    ∴ 12+12 = 24 (개)

    100 = 4×25 이므로 4의 배수, 따라서 200, 300, 400, ∙∙∙∙ 도 4의 배수가 됩니다. 예를 들어 536 = 500+36 에서 500과 36이 4의 배수이므로 536은 4의 배수입니다.
  4. 다섯 장의 카드 1, 2, 3, 4, 5 중에서 네 장을 택하여 만든 네 자리 자연수 중 3412 보다 큰 자연수의 개수를 구하시오.
    5. (답) 59
    1) 4□□□, 5□□□ 꼴의 수 → 4P3×2 = (4×3×2)×2 = 48 (개)
    2) 35□□ 꼴의 수 → 3P2 = 3×2 = 6 (개)
    3) 345□, 342□ 꼴의 수 → 2P1×2 = 2×2 = 4 (개)
    4) 341□ 꼴의 수 → 3415 한 개만 존재     ∴ 48+6+4+1 = 59 (개)
    ☞ 3412 보다 작은 자연수의 개수 구하기

    1) 1□□□, 2□□□ 꼴의 수 → 4P3×2 = (4×3×2)×2 = 48 (개)
    2) 31□□, 32□□ 꼴의 수 → 3P2×2 = (3×2)×2 = 12 (개)     ∴ 48+12 = 60 (개) ^^

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2004-02-03