합의 법칙, 곱의 법칙

사건 A가 일어나는 방법이 m가지, 사건 B가 일어나는 방법이 n가지 있을 때

(1)  합의 법칙 : 사건 A, B중 어느 한 개의 사건만 일어나는 방법의 수는 m+n 가지
(2)  곱의 법칙 : A와 B 두 사건이 모두 일어나는 방법의 수는 m×n 가지

경우의 수를 셀 때, 빠뜨리지 않고 중복하지 않고 셈하려면?

(1) 수형도(tree diagram)를 작성한다.
(2) 사전식 배열을 이용한다.

Problem14-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 신문이 세 종류 있고 잡지가 네 종류 있을 때, 다음 물음에 답하시오.

    (1) 신문이나 잡지 중 어느 한 가지만 구독하는 방법은 몇 가지 인가?
    (2) 신문과 잡지를 둘 다 구독하는 방법은 몇 가지 인가?

    2. (답) (1) 7 가지    (2) 12 가지
    신문 세 종류를 a, b, c 라 하고, 잡지 네 종류를 1, 2, 3, 4 라 하면

    (1) a, b, c, 1, 2, 3, 4 → 3+4 = 7 (가지)
    (2) (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)
        → 3×4 = 12 (가지)

    ☞ 집합 A = {a, b}, B = {1, 2, 3} 의 합집합과 곱집합

    1) A∪B = {a, b, 1, 2, 3}
    2) A×B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}

  2. 한 개의 주사위를 두 번 던져 나온 눈의 합 또는 곱이 4가 되는 경우의 수를 구하시오.

    3. (답) 5

    1) n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)
    2) A∩B=φ일 때, n(A∪B) = n(A)+n(B)

    ㄱ) 눈의 합이 4 → (1,3), (2,2), (3,1)의 세 가지
    ㄴ) 눈의 곱이 4 → (1,4), (2,2), (4,1)의 세 가지

    ∴ 3+3-1 = 5 (가지)

  3. A, B, B, C, C가 인쇄된 5장의 카드를 일렬로 늘어놓을 때, 같은 문자가 이웃하지 않는 경우의 수를 구하시오.

    4. (답) 12
    AB-CBC
    AC-BCB →  2가지
    BA-CBC
    BC-ABC, BC-ACB, BC-BAC, BC-BCA → 5가지
    CA-BCB
    CB-ABC, CB-ACB, CB-CAB, CB-CBA → 5가지

    ∴ 2+5+5 = 12 (가지)
    중복하지 않고, 빠뜨리지 않고 경우의 수를 셈하려면 수형도(tree diagram) 를 작성하거나 사전식 배열을 이용합니다. ^^

  4. x+2y+3z=10 을 만족하는 양의 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수를 구하시오.

    5. (답) 4 개
    ㄱ) z=1 일 때, x+2y=7 에서 y=1, 2, 3 이고 x=5,3,1 이므로 (5,1,1), (3,2,1), (1,3,1)
    ㄴ) z=2 일 때, x+2y=4 에서 y=1 이고 x=2 이므로 (2,1,2)

    ∴ 순서쌍 (x,y,z)의 개수는 3+1= 4 개

    x+2y+3z=10 에서 계수가 작은 문자 x, y 를 따지는 것보다, 계수가 큰 문자 z를 따지는 것이 경우의 수를 더 빠르게 셈할 수 있습니다. ^^

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2004-02-01