접선과 법선 (1)

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서 곡선에 그은 접선의 기울기는 f ´(a)

(1) 접선의 방정식 : y-f(a) = f´(a)(x-a)
(2) 법선의 방정식 : y-f(a) = -(x-a)

곡선 밖의 한 점에서 곡선에 이르는 최단거리를 구할 때 법선의 방정식을 이용할 수 있습니다.

Problem19-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. y=x3-3x2-9x 의 접선으로서 기울기가 최소인 직선의 방정식을 구하시오. 　
    2. (답) y=-12x+1
    1) y´=3x2-6x-9=3(x2-2x)-9=3{(x-1)2-1}-9=3(x-1)2-12
    2) x=1 일 때 y´은 최소이고 최소값은 -12 이고 f(1)=1-3-9 = -11
    3) 접선의 방정식은 y-(-11)=-12(x-1) ⇔ y=-12x+1 ^^
    도함수 f´(x) → 접선의 기울기를 나타내는 함수
  2. 점 (2,0)에서 곡선 y=x2-3 에 그은 접점의 좌표와 접선의 방정식을 구하시오.　
    3. (답) y=2x-4, y=6x-12
    1) 접점의 좌표를 (t,t2-3)라고 놓으면 접선의 기울기는 f´(t)=2t
    2) 접선의 방정식은 y-(t2-3)=2t(x-t) ∙∙∙∙㉠
    3) 접선이 (2,0)을 지나므로 ㉠에 대입하면 -(t2-3)=2t(2-t) ⇔ t2-4t+3=0 ⇔ (t-1)(t-3)=0
    4) t=1 일 때의 접선 → y-(-2)=2(x-1) ⇔ y=2x-4
    5) t=3 일 때의 접선 → y-6=6(x-3) ⇔ y=6x-12
    이차곡선 외부에서는 이차곡선에 접선을 두 개까지 그을 수 있고, 삼차곡선의 외부에서는 삼차곡선에 접선을 세 개까지 그을 수 있습니다. ^^
  3. 점 A(3,0)에서 포물선 y=x2 위의 점에 이르는 최단거리를 구하시오. 　
    4. (답)
    1) y=x2 위의 점 (t,t2)에서 포물선에 그은 법선의 방정식 → y-t2=-(1/2t)(x-t)
    2) A(3,0)을 법선의 방정식에 대입하면
        -t2=-(1/2t)(3-t) ⇔ 2t3=3-t ⇔ 2t3+t-3=0 ⇔ (t-1)(2t2+2t+3)=0 에서 t=1
    3) 점(1,1)과 점(3,0) 사이의 거리 l을  구하면 ^^
    이 문제는 점 A(3,0)과 포물선 위의 점 P(t,t2) 사이의 거리를 구하는 함수를 작성하고 그 최소값을 구하는 방법으로 해결할 수 있습니다.
  4. 포물선 y=kx2 (k≠0) 밖의 한 점 P(a,b)에서 포물선에 두 개의 접선을 그을 수 있다. 이 때의 접점의 x좌표를 α, β 라 하면 이 성립한다. 이것을 증명하시오. 
    5. (증명)  
    1) 접점을 T(t,kt2)라 하면 접선의 방정식은 y-kt2=2kt(x-t)
    2) 접선의 방정식에 P(a,b)를 대입하면 b-kt2=2kt(a-t) ⇔ kt2-(2ak)t+b=0 ∙∙∙∙㉠
    3) ㉠의 두 근을 α, β 라고 하면 α+β=2ak/k    ∴ 증명 끝.
    이차방정식 ax2+bx+c=0 의 두 근을 α, β라고 하면 α+β=-b/a, αβ=c/a

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2004-02-05