미분의 응용 (항등식 문제)

(1)  x-a, (x-a)2 이 f(x)의 인수가 될 조건

1) x-a가 f(x)의 인수 : f(x) = (x-a)Q(x) ⇔ f(a)=0 ← 인수정리
2) (x-a)2가 f(x)의 인수 : f(x) = (x-a)2Q(x) ⇔ f(a)=0, f ´(a)=0

(2) f(x)를 (x-a)2 으로 나눌 때의 나머지 → f ´(a)x+{f(a)-af ´(a)}
x에 대한 항등식 x에 대한 항등식

Problem18-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. x의 다항식 (x+1)5-1을 (x-1)2으로 나눌 때의 나머지를 구하시오.　
    2. (답) 80x-49
    (x+1)5-1을 (x-1)2으로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b 라고 하면
    (x+1)5-1 = (x-1)2Q(x)+ax+b ∙∙∙∙∙ ㉠ ← x 에 대한 항등식이므로 모든 x 에 대하여 성립
    ㉠에 x=1 을 대입 → 25-1 = a+b ⇔ a+b = 31 ∙∙∙∙∙ ㉡
    ㉠의 양변을 x 에 대하여 미분 → 5(x+1)4 = 2(x-1)Q(x)+(x-1)2Q´(x)+a ∙∙∙∙∙ ㉢
    ㉢에 x=1 을 대입 → 5×24 = a ⇔ a=80 ∙∙∙∙∙ ㉣
    ㉡, ㉣ 에서 a = 80, b = -49 이므로 나머지는 80x-49  ^^
    ☞A 를 B 로 나눌 때 몫이 Q, 나머지가 R ⇔ A = BQ+R (0≤R<B)
  2. (x2+x+1)10 을 x2 으로 나눌 때의 나머지를 구하시오.　
    3. (답) 10x+1
    (x2+x+1)10 을 x2 으로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지 ax+b 라고 하면
    (x2+x+1)10 = x2Q(x)+ax+b ∙∙∙∙∙ ㉠ ← x 에 대한 항등식
    ㉠에 x=0 을 대입 → 110 = b 에서 b=1
    ㉠의 양변을 x 에 대하여 미분 → 10(x2+x+1)9(2x+1) = 2xQ(x)+x2Q´(x)+a ∙∙∙∙∙ ㉡
    ㉡의 양변에 x=0을 대입 → 10 = a    ∴ 나머지는 10x+1 ^^
    ☞ 합성함수의 미분 : y = f(g(x)) 의 도함수 → y = f ´ (g(x))g´(x)
  3. x5+ax4+b 가 (x+1)2으로 나누어 떨어 지도록 상수 a, b를 정하시오.　
    4. (답)  a=, b=-
    x5+ax4+b=(x+1)2Q(x) ∙∙∙∙∙ ㉠ 에 x=-1을 대입 → -1+a+b=0 에서 a+b=1 ∙∙∙∙∙ ㉡
    ㉠의 양변을 x 에 대하여 미분 → 5x4+4ax3=2(x+1)Q(x)+(x+1)2Q´(x) ∙∙∙∙∙ ㉢
    ㉢의 양변에 x=-1을 대입하면 5-4a=0 이므로 a=이고 ㉡에서 b=-
    항등식은 좌변과 우변이 동일한 식이므로 문자에 어떤 수를 대입해도 등호가 성립합니다. 또, 항등식의 양변을 미분해도 항등식이 됩니다.


  4. 2차 이상의 다항식 f(x) 를 (x-a)2 으로 나눌 때의 나머지는 f ´(a)x+{f(a)-af ´(a)} 이다. 이것을 증명하시오.
    5. (증명)  
    f(x)를 (x-a)2으로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 px+q 라고 하면
    f(x) = (x-a)2Q(x)+px+q ∙∙∙∙㉠
    ㉠에 x=a 를 대입하면 f(a) = pa+q ∙∙∙∙㉡
    ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f´(x) = 2(x-a)Q(x)+(x-a)2Q´(x)+p ∙∙∙∙㉢
    ㉢의 양변에 x=a를 대입하면 f´(a) = p ∙∙∙∙ ㉣
    ㉡, ㉣에서 p=f´(a), q=f(a)-pf´(a) 이므로 나머지는 f ´(a)x+{f(a)-af ´(a)}    증명 끝.
    ☞ 다항식을 2차식으로 나눌 때의 나머지 → 1차 이하의 다항식

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2004-02-03