미분공식

Problem18-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 각 함수의 도함수를 구하시오.
   
   (1) y=x³-4x²+1    (2) y=(x²+1)(x³+2)　(3) y=(x²+x+1)³
(답)

(1) y′=3x²-8x
(2) y′=(x²+1)′(x³+2)+(x²+1)(x³+2)′=2x(x³+2)+(x²+1)(3x²)

=(2x⁴+4x)+(3x⁴+3x²)=5x⁴+3x²+4x

(3) y′=3(x²+x+1)²(x²+x+1)′=3(x²+x+1)(2x+1)

1) (상수함수)′=0, (xⁿ)′=nx^n-1
2) (uv)′=u′v+uv′, {g(f(x)}′=g′(f(x))f′(x)

2. y=x³+x+1 의 역함수 f(x) 의 도함수 f′(x) 를 구하시오.
(답) f′(x)=1/(3y²+1)

1) y=x³+x+1 의 역함수는 x=y³+y+1
2) dx/dy=3y²+1 에서 dy/dx=1/(3y²+1) 이므로 f′(x)=1/(3y²+1) ^^

1) y=f(x) 의 역함수는 x=f(y) 이고 dy/dx=1/(dx/dy) 이므로
2) x=f(y) 를 y 에 대하여 미분하면 dx/dy=f′(y) ∴ 역함수의 도함수 dy/dx=1/f′(y) ^^

3. f(x) 는 x 의 다항식이고 f(1)=-1, f′(1)=2 이다. y=x²{f(x)}³ 의 x=1 에서의 미분계수를 구하시오.
(답) 4

1) y′=2x{f(x)}³+x²×3{f(x)}²f′(x)
2) [y′]_x=1=2{f(1)}³+1²×3{f(1)}²f′(1)=2×(-1)³+3(-1)²×2=4 ^^

☞ y=f(x) 의 x=a 에서의 미분계수를 나타내는 기호 → f′(a)=[dy/dx]_x=a=[y′]_x=a




4. f(x)=x³+x² 의 역함수를 g(x) 라 할 때 g′(2) 를 구하시오.
(답) 1/5

1) x³+x²=y 의 역함수는 y³+y²=x
2) y³+y²=x 에서 x=2 일 때, y³+y²=2 ⇔ y³+y²-2=0 ⇔ (y-1)(y²+2y+2)=0 에서 y=1
3) x=y³+y² 를 x 에 대하여 미분하면 dx/dy=3y²+2y 이므로 dy/dx=1/(3y²+2y)
4) g′(x)=1/(3y²+2y) 에서 x=2 일 때, y=2 이므로 g′(2)=1/(3·1²+2·1)=1/5 ^^

☞ f(x) 의 역함수가 g(x) 일 때 f(a)=b 이고 f′(a)=m 이면 g′(b)=1/m ^^

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