도함수의 정의

Problem 8-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 도함수의 정의에 따라 다음 함수의 도함수를 구하시오.

   (1) y = {f (x)}²    (2) y =

(답) (1) 2f (x)·f ′(x)    (2) f ′(x)/2

(1)
(2)

1) 구간 [x, x+△x] 에서 f (x) 의 평균변화율 = {f (x+△x)-f (x)}/△x
2) x 좌표가 x 인 점에서의 순간변화율 = lim[△x→0]{{f (x+△x)-f (x)}/△x} = f ′(x)

2. 도함수의 정의를 써서 f (x) = |x| 의 도함수는 f ′(x) = (x≠0) 임을 증명하시오.
(증명)

　

1) 0/0 꼴의 극한값을 구하려면? → 무한소의 요소를 약분 제거 합니다. ^^
2) x→a 일 때의 무한소의 요소는 x-a 이고, △x→0 일 때의 무한소의 요소는 △x

3. y = f (g(x)) 의 도함수 y′ 는 y′ = f ′(g(x))·g′(x) 임을 증명하시오.
(증명)　



☞ 함수의 도함수를 구하는 것을 ' 함수를 미분한다.' 라고 말합니다.^^




4. 모든 실수 x, y 에 대하여 항상 f (x)>0, f (x+y) = f (x)·f (y) 을 만족하는 함수 f  가 있다.  f ′(0) = a  라고 할 때,  f ′(x) = af (x) 임을 증명하시오.
(증명)　

1)
2) ㉠, ㉡ 에서 f ′(x) = af (x)  증명 끝. ^^

☞ f ′(x) = af (x) 의 뜻 → 접선의 기울기는 접점 (x,f (x)) 의 y 좌표 f (x) 에 비례한다. ^^

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