미분가능과 연속

Problem 8-2 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. f (x) = x|x| 일 때, f ′(0) 을 구하시오.　
(답) 0

1) f (x) = x|x| 이므로 f (0) = 0
2)

☞ f(x) 의 x =a 에서의 미분계수 → f ′(a) =




2. f (x) 가 x = a 에서 미분가능이면 x = a 에서 연속임을 증명하시오.
(증명)　

1) f 가 x = a 에서 미분가능이면 f ′(a) = 를 만족하는 상수 f ′(a) 가 존재.
2) {f (x)-f (a)} = ×(x-a) =  f ′(a)×0 = 0
    ∴ {f (x)-f (a)} = 0 ⇔ f (x) = f (a) 이므로 f 는 x = a 에서 연속.^^

☞ f 가 x = a 에서 미분가능 → f ′(a) = 를 만족하는 상수 f ′(a)가 존재　

3. f (x) =일 때, f′(1) 이 존재하도록 상수 a, b 를 정하시오.
(답) a = 2, b = -1

1)  f ′(1) =
2) ㉠ 에서 분모의 극한값이 0 이므로 분자의 극한값 → (a+b)-1 = 0 ⇔ a+b = 1
3) ㉠, ㉡의 극한값이 같고 b = 1-a 이므로 →  ∴ a=2, b=-1

☞ 극한값이 존재 → 우극한값 = 좌극한값 (= 극한값)

4. 함수 f (x) = 는 x = 0 에서 미분가능임을 증명하시오.
(증명)　

1) f ′(0) =
2) x≠0 인 모든 x 에 대하여 0≤|sin(1/x)|≤1 이므로  x→0 일 때, xsin(1/x)→0
3) x = 0 에서의 미분계수 f ′(0) = 0 이 존재하므로 f 는 x = 0 에서 미분가능. 증명 끝. ^^

☞ f ′(a) 이 존재하면 f 는 x = a 에서 미분가능

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