평균변화율과 순간변화율(미분계수)

Problem 8-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. f(x) = x²+px+q 의 구간 [a,b] 에서의 평균변화율과 x = a 에서의 순간변화율이 같을 때 c 를 a 와 b 로 나타내시오.　
(답)　c = (a+b)/2

1) 구간 [a,b] 에서의 x 의 변화량 △x = b-a

y 의 변화량 △y = f(b)-f(a) = (b²+pb+q)-(a²+pa+q) = (b²-a²)+p(b-a)

구간 [a,b] 에서의 평균변화율 △y/△x = {(b²-a²)+p(b-a)}/(b-a) = (b+a)+p

2) x = c 에서의 순간변화율 f′(c)

3) 평균변화율 = 순간변화율 → (b+a)+p = 2c+p    ∴ c = (a+b)/2 ^^

☞ 변화율 = 기울기 → 평균변화율 = 선분의 기울기, 순간변화율 = 접선의 기울기




2. 임을 증명하시오.
(증명)



☞ a→α, b→α 일 때, {f(a)-f(b)}/(a-b) → f′(α)




3. f(a) = b, f′(a) = c 일 때 를 a, b, c 로 나타내시오.
(답) b-ac



☞ lim[b→a]{f(b)-f(a)}/(b-a) = f′(a), lim[a→b]{f(b)-f(a)}/(b-a) = f′(b) ^^

4. f′(a) = b 일 때, 의 값을 구하시오.
(답)　bc

1) c/n = h 라고 하면 n = c/h 이고, n→∞ 일 때 h→0
2)

☞ f′(a) = lim[b→a]{f(b)-f(a)}/(b-a) = lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h ← b =a+h

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