연속함수의 성질, 중간값 정리

Problem 7-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 함수 f(x) 와 g(x) 가 x = a 에서 연속일 때, 함수가 x = a 에서 연속일 조건을 구하시오.　
(답) g(a)≠0
1) 이 x = a 에서 연속일 조건 → =…㉠
2) f 와 g 가 x = a 에서 연속이므로 → f(x) = f(a), g(x) = g(a) …㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 이 존재하면 =이 성립.    ∴ g(a)≠0 ^^
☞ f 가 x = a 에서 연속일 조건 → f(a) 및 f(x) 이 존재하고 f(x) = f(a)
　



2. 함수 f(x) = 이 연속함수가 되도록 상수 a 의 값을 정하시오.
(답) 1/4

1) a(x+1)과 2^-x 은 연속함수 → x = 1 에서 연속이면 f(x) 는 모든 실수 x 에 대하여 연속
2) x→1+0 일 때, f(x)→2a …㉠ ← x > 1 일 때, f(x) = a(x+1)
3) x→1-0 일 때, f(x)→2^-1…㉡ ← x < 1 일 때, f(x) = 2^-x
4) ㉠, ㉡ 에서 2a = 2^-1    ∴ a = 1/4 ^^

☞ x≥a 일 때 f(x), x<a 일 때 g(x) 로 주어진 함수가 연속할 필요조건 → f(a) = g(a)




3. 방정식 x-cosπx = 1+log₂x 의 실근이 1과 2 사이에 적어도 하나 존재함을 증명하시오.
(증명)

1) f(x) = (x-cosπx)-(1+log₂x) 라고 하면 f(x) 는 x>0 인 모든 x 에 대하여 연속
2) f(1) = (1-cosπ)-(1+log₂1) = (1+1)-(1+0) = 1 ← cosπ = -1, log₂1 = 0
3) f(2) = (1-cos2π)-(1+log₂2) = (1-1)-(1+1) = -2 ← cos2π = 1, log₂2 = 1

함수 f(x) 는 x>0 일 때 연속이고 f(1)>0, f(-2)<0 이므로 f(x) = 0 을 만족하는 x 가 1 과 2 사이에 존재. ∴ x-cosπx = 1+log₂x 의 실근이 1과 2 사이에 적어도 하나 존재한다. 증명 끝. ^^

방정식 f(x) = 0 의 실근이 a 와 b 사이에 존재하는 것을 보이려면? → i) a 와 b 사이에서 함수 f(x) 가 연속임을 보인다. ii) f(a)와 f(b) 의 부호가 서로 반대인 것을 보인다. ^^




4. 방정식 (x²-1)cosx+2sinx = 0 은 구간 (0,1) 에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 증명하시오.
(증명)　

1) f(x) = (x²-1)cosx+2sinx 는 모든 실수 x 에 대하여 연속
2) f(0) = (0-1)cos0+2sin0 = -1+0 = -1 ← cos0 = -1
3) f(1) = (1-1)cos1+2sin1 = 2sin1 > 0 ← sin1 > 0

함수 f(x) = (x²-1)cosx+2sinx 는 모든 실수 x 에 대하여 연속이고 f(0) 과 f(1) 의 부호가 반대이므로 (x²-1)cosx+2sinx = 0 을 만족하는 x 가 구간 (0,1) 안에 적어도 하나 존재한다. ^^

☞ π = 180° ⇔ 1 = 180°/π = 57.29577…° → sin1≒sin57.3° = 0.84151… ^^

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