함수의 연속

1. 함수 f 가 x = a 에서 연속일 조건 1) f(a) 가 존재 2) f(x) 가 존재 3) f(x) = f(a) 2. 연속함수의 성질 1) f(x), g(x) 가 x = a 에서 연속이면 f(x)±g(x), f(x)×g(x) 도 x = a 에서 연속 2) f(x), g(x) 가 x = a 에서 연속이고 g(a)≠0 이면 f(x)/g(x) 도 x = a 에서 연속 f(x) = f(a) ⇔ f 는 x = a 에서 연속

Problem 5-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음과 같이 정의된 함수 f 가 x = 0 에서 연속이 되도록 a 를 정하시오.
   　
(답) a = 1

1)
2)  조건에서 f(0) = a  이므로 a = 1 ^^

☞ f 가 x = a 에서 연속일 조건 → f(x) = f(a)




2. f(x) = 이 x = 1 에서 연속이 되도록 상수 a 를 정하시오.
(답) a = -1

1) |x|>1 일 때, n→∞ 이면 xⁿ→±∞    ∴
2) |x|<1 일 때, n→∞ 이면 xⁿ→0   ∴ f(x) = 2x+a
3) x = 1 일 때, xⁿ = 1    ∴ f(x) = (a+3)/2
4) x = -1 일 때, 극한값이 존재하지 않으므로 f(x) 는 정의되지 않는다.
5) f(x)가 x = 1 에서 연속 →⇔ 1 = 2+a = (a+3)/2    ∴ a = -1 ^^

☞ {(-1)ⁿ⁺¹+1} : 2, 0, 2, 0, 2, … 이므로 → {(-1)ⁿ⁺¹+1} 은 수렴하지 않음 ^^




3. 모든 실수 x 에 대하여 연속인 함수 f 가 (x-1)f(x) =-2 를 만족할 때, f(1) 을 구하시오.   　
(답) 1/2

1) f 가 모든 실수 x 에 대하여 연속이므로 x = 1 때에도 연속 → f(x) = f(1)
2)

☞ f 가 x = a 에서 연속일 조건 → f(x) = f(a)




4. f(x) = [x]²+ax[x]+b[x] 가 모든 실수 x 에 대하여 연속이 되도록 상수 a, b 를 정하시오.　
(답)　a = -2, b = 1

1) n 이 정수일 때, [x] = n 이고[x] = n-1
2)f(x) = n²+an²+bn = (1+a)n²+bn …㉠
3)f(x) = (n-1)²+an(n-1)+b(n-1) = (1+a)n²+(b-a-2)n+(1-b) …㉡
4) f 는 연속함수이므로 모든 정수 n 에 대해서 f(x) =f(x) 이 성립
5) ㉠, ㉡ 에서 → (1+a)n²+bn = (1+a)n²+(b-a-2)n+(1-b) …㉢ 이 정수 n 에 대한 항등식
6) ㉢ 의 좌변과 우변의 계수를 비교 → b = b-a-2, 0 = 1-b    ∴ a = -2, b = 1 ^^

1) n ≤ x < n+1 일 때, [x] = n (n 은 정수)
2) 함수 f(x) = [x] 는 x 가 정수일 때만 불연속

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