미정상수 또는 f(x) 를 구하는 문제

Problem 7-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 이 성립하도록 상수 a, b 를 정하시오.　
(답) a = 0, b = -1

1) x→1 일 때, 분모→0 이고 분자→1+a+b
2) (1+a+b)/0 = 2 꼴 이므로 1+a+b = 0 ⇔ b = -a-1 …㉠
3)
4) 2+a = 2 에서 a = 0, ㉠ 에 대입하면 b = -1   ∴ a = 0, b = -1 ^^

☞ 1/0⁺ = +∞, 1/0^- = -∞ 이므로 a/0 꼴의 극한값이 상수이면 a = 0 ^^




2. 이 성립하도록 상수 a, b 를 정하시오.
(답) a = 1, b = -2

1) 0/(1+a+b) = 1 꼴이므로 1+a+b = 0 ⇔ b = -a-1 …㉠
2)
3) 2/(2+a) = 2/3 에서 a = 1, ㉠ 에 대입하면 b = -2    ∴ a = 1, b = -2 ^^

☞ a≠0 일 때, 0/a = 0 이므로 극한이 0/a = α (α≠0) 꼴이면 → a = 0




3. 을 만족하는 다항함수 f(x) 를 구하시오.
(답) f(x) = 2x³+2x²-3x

1) 극한의 꼴이 ∞/∞ = 2 이므로 → f(x)-2x³ = 2x²+ax+b ⇔ f(x) = 2x³+2x²+ax+b
2) x→0 일 때, f(x)/x → -3 이므로 f(x)/x = 2x²+2x+a+b/x 에서 b = 0    ∴ f(x)/x = 2x²+2x+a
3) x→0 일 때, f(x)/x → a 에서 a = -3    ∴ f(x) = 2x³+2x²-3x ^^

1) 극한의 꼴이 ∞/∞ = 2 → 분모 분자의 차수는 같고 최고차 항의 계수의 비 = 2
2) 극한의 꼴이 f(0)/0 = -3 → f(0) = 0




4. 를 만족하는 다항식 f(x) 중에서 차수가 가장 낮은 것을 구하시오.
(답) f(x) = (x-1)(x-2)(3x-4)

1) 극한의 꼴이 f(1)/0 = 1, f(2)/0 = 2 이므로 f(1) = 0, f(2) = 0
2) f(1) = 0, f(2) = 0 → f(x) = (x-1)(x-2)Q(x) 꼴
3) f(x)/(x-1) = (x-2)Q(x), f(x)/(x-2) = (x-1)Q(x) 이므로
4) x→1 일 때, -Q(1) = 1, x→2 일 때, Q(2) = 2    ∴ Q(1) = -1, Q(2) = 2
5) Q(1) = -1, Q(2) = 2 를 만족하는 차수가 가장 낮은 식은 Q(x) = ax+b 꼴
6) a+b = -1, 2a+b = 2 ⇔ a = 3, b = -4  ∴ Q(x) = 3x-4 이고 이 때, f(x) = (x-1)(x-2)(3x-4) ^^

1) f(x₁) = y₁, f(x₂) = y₂ ⇔ f(x) 의 그래프는 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂) 를 지난다.
2) 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂) 를 지나는 가장 간단한 도형 → 직선 ^^

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