함수의 극한

Problem 7-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 극한값 이 존재하도록 상수 a 를 정하시오.
(답) a = -1

1) 우극한값 :
2) 좌극한값 :
3) 우극한 값 = 좌극한값 → 9+3a = 8+2a    ∴ a = -1 ^^

☞ h가 충분히 0 에 가까운 양수일 때, [3+h] = 3, [3-h] = 2




2. 극한값 을 구하시오.
(답) 극한값은 존재하지 않음

1) x→+0 일 때, 1/x → +∞ 이므로 2^1/x → +∞
2) x→-0 일 때, 1/x → -∞ 이므로 2^1/x → 0
3) 우극한값 = 0, 좌극한값 = 1 이므로 극한값이 존재하지 않음. ^^

☞ 위의 지수함수 f(x) = 2^x 의 그래프에서 2^+∞ = +∞, 2^-∞ = 0 




3. a > 0 일 때, 극한값 를 구하시오.　
(답) i) a > 1 일 때 0  ii) a = 1 일 때 1/2   iii) 0 < a < 1 일 때 1

1) a > 1 일 때, x→∞ 일 때 a^x→∞    ∴ 1/(1+a^x) = 1/∞ = 0
2) a = 1 일 때, 모든 x 에 대하여 a^x = 1    ∴ 1/(1+a^x) = 1/2
3) 0 < a < 1 일 때, x→∞ 일 때 a^x→0   ∴ 1/(1+a^x) = 1/(1+0) = 1

☞ 0<a<1 일 때, a^∞ = 0,  a>1 일 때 a^∞ = ∞




4. x 가 한없이 1 에 가까워지면 2x+1 은 한없이 3 에 가까워진다. 2x+1 과 3 과의 차가 2^-10 보다 작게 되려면 x 는 얼마나 1 에 가까워져야 하는가? |x-1|의 범위로 답하시오.
(답) |x-1| < 2^-11

1) 2x+1 과 3 과의 차 → |(2x+1)-3|
2) |(2x+1)-3| < 2^-10 ⇔ 2|x-1| < 2^-10 ⇔ |x-1| < 2^-11

x 의 값이 1-2^-11 < x < 1+2¹¹ 의 범위에 존재할 때, 2x+1 과 3 과의 차가 2^-10 보다 작아진다는 뜻입니다. ^^

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