무한등비 급수

1. 무한등비급수 → a + ar + ar2 + … + arn-1 + … 2. 무한등비급수가 수렴할 조건 → 첫째 항이 0 또는 -1<공비<1 3. 무한등비급수의 합 → a+ar+ar2+…+arn-1+… = a/(1-r) (-1< r <1) 1) 첫째 항이 a, 공비가 r(≠1) 인 등비수열의 n 항까지의 합 → Sn = a(1-rn)/(1-r) 2) -1< r <1 일 때 rn = 0 이므로 … 3) a+ar+ar2+…+arn-1+…  = (a+ar+…+arn-1) = a(1-rn)/(1-r) = a/(1-r)

Problem 6-6 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 무한등비급수의 합을 구하시오.
   
   (1)     (2)
(답) (1) √2/2    (2) 7/4

1)
2)

☞




2. 무한소수 = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + … 를  분수로 나타내시오.
(답) 4/33

1) 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + … → 첫째 항이 0.12, 공비가 0.01 인 무한등비급수
2) S = 0.12/(1-0.01) = 0.12/0.99 = 12/99 = 4/33 ←  -1<r<1 일 때, S = a/(1-r)

☞ a+ar+ar²+…+ar^n-1+… 는 a = 0 또는 -1<r<1 일 때 수렴하고 이 때의 합은 S = a/(1-r)




3. 다음 무한급수가 수렴하도록 x 의 범위를 정하시오.
   (1)     (2)
(답) (1) 0.1< x< 10    (2) -1< x <0, 1< x <2
(1) 1+logx+(logx)²+ … + (logx)^n-1+ … → 첫째 항이 1, 공비가 logx 인 등비수열 이므로…
수렴조건 : -1<공비<1 에서 →  -1< logx <1 ⇔ 10^-1< logx <log10 ⇔ 10^-1< x <10 ^^
(2) 1+(x²-x-1)+(x²-x-1)²+ … + (x²-x-1)^n-1+ … → 첫째 항이 1, 공비가 x²-x-1 인 등비수열
1) 수렴조건 : -1<공비<1 에서 →  -1< x²-x-1 <1 ⇔ x²-x>0, x²-x-2 < 0
2) x(x-1) > 0 ⇔ x < 0 또는 x > 1 …㉠, (x-2)(x+1) < 0 ⇔ -1< x <2 …㉡
3) ㉠, ㉡ 을 동시에 만족하는 x 의 범위는 -1< x <0, 1< x <2 ^^
☞ logx = log₁₀x, log_aa = 1, log_axⁿ = nlog_ax
　



4. 한 변의 길이가 1 인 정사각형을 Q₁, Q₁ 의 각 변을 1 : 2 로 내분하는 점을 꼭지점으로 하는 정사각형을 Q₂, 이와 같이 정사각형 Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, …, Q_n, … 을 한없이 만들 때, 이 정사각형들의 면적의 합을 구하시오.
(답) 9/4

1) 그림에서 정사각형의 닮음비는 3 : √5 → 면적비 = 9 : 5
2) Q₁ 의 넓이=1, (Q_n+1 의 넓이) = (Q_n 의 넓이)×(5/9)
3) 1 + (5/9) + (5/9)² + … = 1/{1-(5/9)} = 9/4 ^^

☞ 닮음비 = m : n ⇔ 면적비 = m² : n² ^^

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