무한급수의 합

무한급수 = a1+a2+a3+…+an+… 의 합 구하기 1) Sn = a1+a2+a3+…+an = 를 구한다. 2) Sn =를 계산한다. ☞ an = 0 은 무한급수가 수렴하기 위한 필요조건. 무한급수 a1+a2+a3+…+an+… 의 합이 존재하려면? 1) 부분합수열 {Sn} : S1, S2, S3, …, Sn, … 이 수렴 2) Sn =(a1+a2+a3+… an) 이 존재

Problem 6-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 무한급수 + … 의 합을 구하시오.
(답) 1

1) S_n = =
2) S_n = (1-1/n) = 1    ∴ 무한급수의 합 S = 1 ^^

☞




2. 무한급수 + … 의 합을 구하시오.
(답) 2

1) S_n = =
2) 
3) S_n = 2{1-1/(n+1)} = 2    ∴ 무한급수의 합 S = 2 ^^

☞ (a₁+a₂+a₃+…+a_n) = S ⇔ 무한급수 a₁+a₂+a₃+…+a_n+… 의 합이 S




3. 무한급수 의 합을 구하시오.　
(답) 1/2

　

1) S_2n-1 = 1/2 (n = 1,2,3, … ) ← S₁ = 1/2, S₃ = {(1/2)-(1/3)+(1/3)} = 1/2, …
2) S_2n = S_2n-1+a_2n = (1/2)+{-1/(n+2)} ← a₂ = -(1/3), a₄ = -(1/4), a₆ = -(1/5), …
3) S_2n-1 = 1/2 이고 S_2n = {(1/2)-1/(n+2)} = 1/2
4) S_2n-1 = S_2n = 1/2 이므로 S_n = 1/2    ∴무한급수의 합 S = 1/2 ^^

☞ a₂ = -(1/3), a₄ = -(1/4), a₆ = -(1/5), … 에서 a_2n 구하기

a_2·1 = -(1/3), a_2·2 = -(1/4), a_2·3 = -(1/5) → a_2n = -{1/(n+2)} ^^




4. 무한급수 의 합을 구하시오.
(답) 무한급수가 수렴하지 않으므로 합은 존재하지 않음

1) S_2n-1 = 1/2 (n = 1,2,3, … ) ← S₁ = 1/2, S₃ = {(1/2)-(2/3)+(2/3)} = 1/2, …
2) S_2n = S_2n-1+a_2n = (1/2)+{-(n+1)/(n+2)} ← a₂ = -(2/3), a₄ = -(3/4), a₆ = -(4/5), …
3) S_2n-1 = 1/2 이고 S_2n = {(1/2)-(n+1)/(n+2)} = (1/2)-1 = -(1/2)
4) S_2n-1 = 1/2 이고 S_2n = -(1/2) 이므로 S_n 은 존재하지 않음.

☞ a₁, a₂, a₃, …, a_n, … 에서 a_2n-1≠a_2n 이면 무한수열은 수렴하지 않음_.

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