무한급수의 수렴과 발산

1. 무한급수 → = a1+a2+a3+ … +an+ … 꼴의 식을 무한급수라고 합니다. 2. 무한급수의 부분합수열 → {Sn} : S1, S2, S3, …, Sn, … 1) a1+a2+a3+ … +an+ … 의 부분합수열 → a1, a1+a2, a1+a2+a3, …, a1+a2+a3+…+an, … 2) 부분합수열 {Sn} 이 수렴할 때 무한급수는 수렴한다고 말함. 3. 무한급수의 합 S → 부분 합 수열 {Sn} 이 S 에 수렴 ⇔ a1+a2+a3+ … +an+ … = S S = Sn = (a1+a2+a3+…+an) =

Problem 6-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 무한급수 1+(-1)+1+(-1)+ … + (-1)^n-1+ … 의 부분합수열을 구하고 무한급수의 수렴, 발산을 판정하시오.
(풀이)　

1) 부분합수열 → 1, 1+(-1), 1+(-1)+1, 1+(-1)+1+(-1), … ⇔ 1, 0, 1, 0, …
2) 무한수열 1, 0, 1, 0,  … 이 수렴하지 않으므로 → 무한급수는 발산. ^^

☞ a₁, a₁+a₂, a₁+a₂+a₃, …, a₁+a₂+a₃+…+a_n, … 이 수렴 → 무한급수가 수렴




2. 무한급수 1 - 2 + 3 - 4 + … + (-1)^n-1n + … 의 부분합수열을 구하고 무한급수의 수렴, 발산을 판정하시오.
(풀이)　

1) 부분합수열 → 1, 1-2, 1-2+3, 1-2+3-4, … ⇔ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, …
2) 무한수열 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, … 이 수렴하지 않으므로 → 무한급수는 발산. ^^

☞ a₁+a₂+a₃+ … +a_n+ … 이 수렴 ⇔ 부분합수열 {S_n} 이 수렴




3. 명제 'a₁+a₂+a₃+ … +a_n+ … 이 수렴하면 a_n = 0' 을 증명하고 명제의 대우를 말하시오.
(증명)　

1) 무한급수가 수렴하므로 부분합수열 {Sn} 이 수렴
2) {Sn} 의 극한값을 S 라고 놓으면S_n = S
3) a_n = S_n-S_n-1 (n = 2,3,4, …) 이고 S_n = S 이면 S_n-1 = S 이므로
4)a_n = (Sn-Sn-1) = S-S = 0    ∴ 무한급수가 수렴하면 a_n = 0

(명제의 대우) → a_n ≠ 0　이면 무한급수 a₁+a₂+a₃+ … +a_n+ … 는 발산

☞ 명제 p→q 의 대우 ⇔ ~q→~p → 명제가 참이면 그 대우도 참 ^^




4. 무한급수 는 수렴하지 않음을 증명하시오.
(증명)　

1) 무한급수의 일반항 a_n = n/(2n-1) 의 극한값 →a_n = n/(2n-1) = 1/2
2) a_n ≠ 0　이므로 무한급수 (1/1)+(2/3)+(3/5)+…+n/(2n-1)+… 은 수렴하지 않음. ^^

☞ a₁+a₂+a₃+ … +a_n+ … 이 수렴하면 a_n = 0 ← 역은 성립하지 않음

목록으로