무한등비수열

Problem 6-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 극한값 를 구하시오.
(답) -1

1) {2ⁿ} : 2, 4, 8, 16, … → +∞ 으로 발산
2) {1ⁿ} : 1, 1, 1, 1, 1, … → 1 에 수렴
3) {(-1/2)ⁿ} : -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, … → 0 에 수렴
4) {(-1)ⁿ} : -1, 1, -1, -1, 1, … → 일정한 값에 가까워지지 않으므로 수렴하지 않음(발산)
5) {(-2)ⁿ} : -2, 4, -8, 16, -32, … → ±∞ 으로 발산

2. 극한값 을 구하시오.
(답) 3

☞ a>0, b>0 일 때,

3. 무한등비수열 {(2x-1)^2n-1} 이 수렴할 조건을 구하고 그 때의 극한값을 구하시오.　
(답) 수렴조건 : 0≤x≤1, 극한값 : 0<x<1일 때는 0, x=0 일 때는 -1, x=1 일 때는 1

1) {(2x-1)^2n-1} : (2x-1), (2x-1)³, (2x-1)⁵, … → 첫째 항 = 2x-1, 공비 = (2x-1)² 인 등비수열
2) -1 < (2x-1)² ≤ 1 ⇔ (2x-1)²≤1 ⇔ 4x(x-1)≤0 ⇔ 0≤x≤1
3) 0<x<1 일 때, 0≤(2x-1)² < 1 → n→∞ 일 때 (2x-1)²ⁿ→0 이므로 극한값 = 0
4) x = 0 일 때, {(2x-1)^2n-1} ⇔ {(-1)^2n-1} : -1, -1, -1, -1, …  → 극한값 = -1
5) x = 1 일 때, {(2x-1)^2n-1} ⇔ {1^2n-1} : 1, 1, 1, 1, … → 극한값 = 1 ^^

☞ -1<r<1 일 때, rⁿ = 0, r = 1 일 때, rⁿ = 1




4. 무한등비수열 {x(2-x)^n-1} 이 수렴할 조건을 구하고 그 때의 극한값을 구하시오.
(답) 수렴조건 : x = 0 또는 1≤x<3, 극한값 : x=0 또는 1<x<3 일 때는 0, x = 1 일 때는 1

1) {x(2-x)^n-1} : x, x(2-x), x(2-x)², x(2-x)³, … → 첫째 항이 x, 공비가 2-x 인 등비수열
2) 수렴조건 → 첫째 항 = 0 또는 -1<공비≤1 ⇔ x = 0 또는 -1 < 2-x≤1 ⇔ x = 0 또는1≤x<3
3) x = 0 일 때, {x(2-x)^n-1} : 0, 0, 0, … → 극한값 = 0
4) x = 1 일 때, {x(2-x)^n-1} : 1, 1, 1, … → 극한값 = 1
5) 1<x<3 일 때, -1<공비<1 이므로 극한값 = 0

☞ 무한수열 {ar^n-1} 이 수렴할 조건 → a = 0 또는 -1 < r ≤1

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