수열의 극한

1. 무한수열 {an} 이 α 에 수렴 → an = α ⇔ 무한수열 {an}의 극한값이 α 2. 무한수열 {an} 이 발산 → n 이 한없이 커질 때, an 이 일정한 값에 가까워지지 않는다. 3. 여러 가지 기호 1) n 이 한없이 커진다. ⇔ n→∞ 2) an 이 한없이 α 에 가까워진다. ⇔ an→α 3) 무한수열 {an}의 극한값이 α 이다. ⇔ an = α 무한수열 {an} 에서 n 이 한없이 커짐에 따라 an 이 일정한 값 α 에 한 없이 가까워질 때, 수열 {an} 은 α 에 수렴한다고 말하고 기호로 n→∞ 일 때, an→ α 또는 an = α 라고 나타냅니다. ^^

Problem 6-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. 다음 무한수열의 극한값을 구하시오.
   (1) 　(2) {(-1)ⁿ}    (3)
(답) (1) -1    (2) 극한값이 존재하지 않음    (3) 0

(1)     ☞ {1/n} : 1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … → 0 에 수렴
(2) {(-1)ⁿ} : -1, 1, -1, …, (-1)ⁿ, … → 일정한 값에 가까워지지 않으므로 수렴하지 않음.
(3)     ☞ : -1, 1/2, -1/3, 1/4, …, (-1)ⁿ/n, … → 0 에 수렴


☞ {1/n} : 1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … 이므로 (1/n) = 0 ^^




2. 다음 극한값을 구하시오.
   (1) 　(2)
(답) (1) ∞ 으로 발산, 극한값은 존재하지 않음    (2) 2

(1) {(n²+1)/2n} ={(n/2)+(1/2n)} = ∞+0 = ∞
(2) {(2n²+1)/n²} = {2+(1/n²)} = 2+0 = 2

☞ ∞ 은 수가 아니므로 ∞-∞ ≠ 0, ∞÷∞ ≠ 1 ^^




3. a_n = (n+2)/n, b_n = (n+1)/n 일 때, 모든 자연수 n 에 대하여 a_n > b_n 이지만 a_n =b_n 이 성립함을 밝히시오.
(증명)　

1) a_n-b_n = (n+2)/n - (n+1)/n

= {1+(2/n)}-{1+(1/n)} = 1/n >0    ∴ 모든 자연수 n 에 대하여 a_n > b_n

2) a_n = {1+(2/n)} = 1+0 = 1 이고
    b_n = {1+(1/n)} = 1+0 = 1 이므로 a_n =b_n ^^

1) a_n = α, b_n = β 일 때, (a_n+b_n) = α+β (α, β 는 상수)
2) 모든 자연수 n 에 대하여 a_n > b_n 일 때, a_n ≥ b_n




4. a_n = (n+1)/n 일 때, a_n = a_n+1 임을 밝히시오.
(증명)　

1) a_n = {(n+1)/n} = {1+(1/n)} = 1+0 = 1 이고
2) a_n+1 = {(n+2)/(n+1)}

= [1+{1/(n+1)}] = 1+0 = 1 이므로 a_n = a_n+1 ^^

{a_n} 이 α 에 수렴 ⇔ a_n = a_n+1 = α

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