부등식의 증명

Problem 5-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. n≥5 인 모든 자연수 n 에 대하여 2ⁿ > n² 임을 수학적귀납법으로 증명하시오.　
(증명)　

[I] n = 5 일 때, 2⁵ = 32, 5² = 25 이므로 2⁵ > 5²
[II] n = k (k = 5,6,7,…) 일 때 부등식이 성립한다고 가정하면, 2^k > k²

2^k > k² 의 양변에 2 를 곱하면, 2^k+1 > 2k² …㉠
2k² -(k+1)² = k²-2k-1 = (k-1)²-2 > 0 (∵ k = 5,6,7, …) → 2k² > (k+1)² …㉡
㉠, ㉡ 에서 2^k+1 > (k+1)² 이므로, 부등식은 n = k+1 일 때도 성립

∴ n≥5 인 모든 자연수 n 에 대하여 2ⁿ > n² 임.^^

위에서 [II]는 …  2^k > k² 이 성립하면 반드시 2^k+1 > (k+1)² 이 성립하는 것을 보이는 과정이므로, 2^k > k² 의 양변에 2 를 곱하여 2^k+1 > 2k² 를 만들고, 이 식의 우변 2k² 이 (k+1)² 보다 큰 것을 보였습니다. ^^




2. n≥2 인 모든 자연수 n 에 대하여 1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n) > 2n/(n+1) 임을 수학적귀납법으로 증명하시오.
(증명)　

[I] n = 2 일 때, 좌변 = 1+(1/2) = 3/2, 우변 = 4/3 이고 (3/2) > (4/3) 이므로 부등식은 성립
[II] n = k (k = 2,3,4, …) 일 때, 부등식이 성립한다고 가정하면

1+(1/2)+(1/3)+…+(1/k) > 2k/(k+1), 이 식의 양변에 1/(k+1) 을 더하면
1+(1/2)+(1/3)+…+(1/k)+{1/(k+1)} > 2k/(k+1)+1/(k+1) …㉠
㉠ 의 우변 → 2k/(k+1)+1/(k+1) = (2k+1)/(k+1) …㉡
(2k+1)/(k+1) - 2(k+1)/(k+2) = (2k+1)(k+2)/(k+1)(k+2) - 2(k+1)2/(k+1)(k+2)

= (2k²+5k+2)/(k+1)(k+2) - (4k+4)/(k+1)(k+2)
= (2k²+k-2)/(k+1)(k+2)

위 식의 우변의 분자 → k = 2,3,4, … 이므로 2k²+k-2 = 2k²+(k-2) > 0
따라서, (2k+1)/(k+1) > 2(k+1)/(k+2) …㉢
㉠, ㉡, ㉢ 에서 1+(1/2)+(1/3)+…+(1/k)+{1/(k+1)} > 2(k+1)/(k+2) 이므로 부등식은 n = k+1 일 때도 성립

∴ n≥2 인 모든 자연수 n 에 대하여 1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n) > 2n/(n+1) 이 성립.^^

☞ n = 2,3,4, …일 때, 명제 p(n) 이 성립하는 것을 보이려면 …

[I] p(2) 가 참 임을 보인다.
[II] p(k) (k = 2,3,4, …) 가 참이면 반드시 p(k+1)도 참임을 보인다.




3. x>0 일 때, n≥2 인 모든 자연수 n 에 대하여 (1+x)ⁿ > 1+nx 이 성립하는 것을 수학적귀납법으로 증명하시오.
(증명)
[I] (1+x)²-(1+2x) = (1+2x+x²)-(1+2x) = x² 에서 x>0 이므로 x²>0    ∴ (1+x)² > 1+2x
[II] k = 2,3,4, …일 때, 부등식이 성립한다고 가정하면 (1+x)^k > 1+kx
(1+x)^k > 1+kx 의 양변에 (1+x) 를 곱하면, (1+x)^k+1 > (1+kx)(1+x) …㉠
(1+kx)(1+x) - {1+(k+1)x} = {1+(k+1)x+kx²}-{1+(k+1)x} = kx²
k = 2,3,4, … 이고 x>0 이므로 kx² > 0    ∴ (1+kx)(1+x) > 1+(k+1)x …㉡
㉠, ㉡ 에서 (1+x)k+1 > 1+(k+1)x 이므로 부등식은 n = k+1 일 때도 성립
∴ x>0 일 때, n≥2 인 모든 자연수 n 에 대하여 (1+x)ⁿ > 1+nx 이 성립. ^^
☞ x>0 일 때, (1+x)³ - (1+3x) = 3x²+x³ > 0    ∴ (1+x)³ > 1+3x ^^
　



4. n = 2,3,4, … 일 때, 1+(1/2²)+(1/3²)+ … +(1/n²) < 2-(1/n) 임을 수학적귀납법으로 증명하시오. 
(증명)　

[I] n = 2 일 때, 좌변 = 1+(1/2²) = 5/4 이고 우변 = 2-(1/2) = 3/2 이므로 부등식은 성립
[II] n = k (k = 2,3,4,  …) 일 때, 부등식이 성립한다고 가정하면

1+(1/2²)+(1/3²)+ … +(1/k²) < 2-(1/k), 이 식의 양변에 1/(k+1)² 을 더하면
1+(1/2²)+(1/3²)+ … +(1/k²)+{1/(k+1)²} < 2-(1/k)+{1/(k+1)²} …㉠
[2-(1/k)+{1/(k+1)²}] - [2-{1/(k+1)}] = -(1/k)+{1/(1+k)²}+1/(k+1)

= -(k+1)²/k(k+1)² + k/k(k+1)² + k(k+1)/(k+1)²
= -(k²+2k+1)/k(k+1)² + k/k(k+1)² + (k²+k)/(k+1)²
= -1/k(k+1)² < 0 이므로

2-(1/k)+{1/(k+1)²} < 2-{1/(k+1)} …㉡

㉠, ㉡ 에서 1+(1/2²)+(1/3²)+ … +(1/k²)+{1/(k+1)²} < 2-{1/(k+1)} 이므로 부등식은  n = k+1 일 때도 성립

∴ n≥2 인 모든 자연수 n 에 대하여 1+(1/2²)+(1/3²)+ … +(1/n²) < 2-(1/n) 임. ^^

☞ n→∞ 일 때, 1+(1/2²)+(1/3²)+ … +(1/n²)+ … = π²/6 → 1734 년 Euler 가 증명.^^ 

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